Question

16．如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點M是BC邊上的一個動點，點B關于點M的對稱點N在BC上（運動開始時，點M與點B重合，當點N到達點C時運動終止），過點M、N作BC的垂線，與折線B→A→C分別交于P、Q兩點，設線段BM的長為x，四邊形PQNM的面積為S，S關于x的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0＜x≤$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$＜x≤a時，函數(shù)的解析式不同）．
（1）填空：當PM=QN時，x的值為2；
（2）求S關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由圖2可知BC=$\frac{3}{2}$×4=6，即a=6÷2=3，根據(jù)PM=QN，由對稱的性質(zhì)得到關于x的方程，解方程即可求解；
（2）分兩種情況：①0＜x≤$\frac{3}{2}$，②$\frac{3}{2}$＜x≤3，進行討論可求S關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍．

解答 解：由圖2可知BC=$\frac{3}{2}$×4=6，即a=6÷2=3，
（1）依題意有：
x=6-2x，
解得x=2．
（2）①0＜x≤$\frac{3}{2}$，S=2x×2x÷2-x²÷2=$\frac{3}{2}$x²；
②$\frac{3}{2}$＜x≤3，S=（x+6-2x）（6-x-6+2x）÷2=-$\frac{1}{2}$x²+3x．
綜上所述，S關于x的函數(shù)關系式是S=$\frac{3}{2}$x²（0＜x≤$\frac{3}{2}$）；S=-$\frac{1}{2}$x²+3x（$\frac{3}{2}$＜x≤3）．
故答案為：2．

點評 此題考查了動點問題的函數(shù)圖象，涉及到等腰三角形的性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，三角形的面積，四邊形的面積，比較復雜．一般在解決動點問題時，采取數(shù)形結合與分類討論的思想．