Question

3．如圖，在以AB為直徑的半圓中，有一個(gè)邊長為1的內(nèi)接正方形CDEF．
（1）求證：AC=BF；
（2）小正方形MNGF，M在EF上，N點(diǎn)在⊙O上，G點(diǎn)在BF上，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，OE，則OD=OE，求證：OC=OF，可以轉(zhuǎn)化為求證Rt△DOC≌Rt△EOF．
（2）連接ON，在Rt△OEF中勾股定理得到OE，然后在Rt△ONG中根據(jù)勾股定理，得到關(guān)于設(shè)正方形FGNK的邊長為x的方程，就可以求出x的值．

解答 （1）證明：如圖1，連接OD，OE，則OD=OE，
∵四邊形CDEF為正方形，
∴CD=FE，∠DCO=∠EFO=90°，
∴在Rt△DOC和Rt△EOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OE}\\{CD=FE}\end{array}\right.$，
∴Rt△DOC≌Rt△EOF，
∴OC=OF，
∵OA=OB，
∴AC=BF；

（2）解：連接ON，設(shè)正方形FGNM的邊長為x，
由已知及（1）可得EF=1，OF=$\frac{1}{2}$
在Rt△OEF中，OE²=OF²+EF²=（$\frac{1}{2}$）²+1²=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
在Rt△ONG中，ON²=OG²+GN²，OE=ON，
∴1=（$\frac{1}{2}$+x）²+x²，整理得x²+x-2=0．
解得x₁=-$\frac{1+\sqrt{7}}{4}$（不合題意，舍去），x₂=$\frac{\sqrt{7}-1}{4}$，
∴MN=$\frac{\sqrt{7}-1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了垂徑定理，正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．