Question

11．如圖，正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，各頂點的坐標(biāo)分別為A（-4，4），B（-4，0），C（0，0），D（0，4）．P、Q分別從點B、O出發(fā)，均以每秒1個單位的速度沿x軸向右運動，運動時間t（s）：作PE⊥PA，QE⊥x軸交于點E，直線AE交y軸于點F．
（1）求證：PA=PE；
（2）連接DE，求當(dāng)t為何值時，線段DE的長最��？并求DE長的最小值；
（3）連接PF，設(shè)y=PO+OF+FP，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）證△ABP≌△PQE即可；
（2）作EG⊥OD，則BP=OQ=EQ=EG=t，DG=4-t，根據(jù)勾股定理DE²=t²+（4-t）²=2t²-8t+16，運用二次函數(shù)的最值解決；
（3）用t表示出PO，OF，PF即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BO=4，
∵P、Q分別從點B、O出發(fā)，均以每秒1個單位的速度x軸向右運動，
∴PB=EQ，AB=PQ，
在△ABP和△PQE
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BQ}\\{∠ABP=∠PQE=90°}\\{BP=QE}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△PQE
∴PA=PE；
（2）如圖，作EG⊥OD，則BP=OQ=EQ=EG=t，DG=4-t，
根據(jù)勾股定理DE²=t²+（4-t）²=2t²-8t+16=2（t-2）²+8，
∴t=2，DE²的最小值是8，
∴DE的最小值是2$\sqrt{2}$；
（3）根據(jù)題意易得：當(dāng)t≤4時，PO=4-t；
∵A（-4，4），E（t，t）
設(shè)直線AE的解析式為：y=kx+b
把A、E兩點坐標(biāo)代入得解析式：y=$\frac{t-4}{t+4}$x+$\frac{8t}{t+4}$
∴0F=$\frac{8t}{t+4}$
在Rt△POF中，
PF=$\sqrt{O{P}^{2}+O{F}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}+16}{t+4}$
∴y=PO+OF+FP=4-t+$\frac{8t}{t+4}$+$\frac{{t}^{2}+16}{t+4}$=8．
同理當(dāng)t＞4時，PO=t-4，y=2t．

點評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形的全等，待定系數(shù)法求解析式，運用好數(shù)形結(jié)合思想是解決此類問題的關(guān)鍵，此類題目綜合性較強(qiáng)，有一定難度．