Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（-6，0），B（4，0），C為y軸正半軸上一點(diǎn)，且∠ACB=45°，求C點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 如解答圖所示，構(gòu)造含有90°圓心角的⊙P，則⊙P與y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)C．

解答 解：設(shè)線段BA的中點(diǎn)為E，
∵點(diǎn)A（4，0）、B（-6，0），
∴AB=10，E（-1，0）．
如圖所示，過點(diǎn)E在第二象限作EP⊥BA，且EP=$\frac{1}{2}$AB=5，則易知△PBA為等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=5$\sqrt{2}$；
以點(diǎn)P為圓心，PA（或PB）長(zhǎng)為半徑作⊙P，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，

∵∠BCA為⊙P的圓周角，
∴∠BCA=$\frac{1}{2}$∠BPA=45°，即則點(diǎn)C即為所求．
過點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，則OF=PE=5，PF=1，
在Rt△PFC中，PF=1，PC=5$\sqrt{2}$，由勾股定理得：CF=$\sqrt{P{C}^{2}-P{F}^{2}}$=7，
∴OC=OF+CF=5+7=12，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，12）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，由45°的圓周角聯(lián)想到90°的圓心角是解題的突破口，也是本題的難點(diǎn)所在．