Question

8．如圖1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，將一塊三角板中含45°角的頂點放在A上，從AB邊開始繞點A逆時針旋轉一個角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點D，直角邊所在的直線交直線BC于點E．
操作一：在線段BC上取一點M，連接AM，旋轉中發(fā)現(xiàn)：若AD平分∠BAM，則AE也平分∠MAC．請說明理由；
操作二：當0°＜α≤45°時，在旋轉中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關系：BD²+CE²=DE²．某同學將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF（如圖2），很快找到了解決問題的方法，請你說明其中的道理．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據圖形、已知條件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；
（2）應用折疊對稱的性質和SAS得到△AEF≌△AEC，得出FE=CE，∠AFE=∠C=45°．再證明∠DFE=90°．然后在Rt△DFE中應用勾股定理即可證明．

解答 （1）證明：如圖1，∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．
∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∵∠BAD=∠DAM，
∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，
∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，
∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；

（2）證明：如圖2，連接EF．
由折疊可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，∠B=∠AFD=45°．
∵∠BAD=∠FAD，
∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAE=∠CAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴FE=CE，∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．
在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，
∴BD²+CE²=DE²．

點評 本題考查了旋轉的性質，角平分線的定義，等腰直角三角形的性質，軸對稱的性質，全等三角形的判定和性質等知識點．注意，旋轉前后，圖形的大小和形狀都不改變．