Question

4．正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，連接AP，BP，CP，將△PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BC與AB重合，得到△ABM．
（1）求證：PB⊥BM； 
（2）若AP：PB=1：2，∠APB=135°，AM=3，求PM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先由正方形的性質(zhì)得出∠ABC=90°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠MBP=∠ABC=90°，即PB⊥BM； 
（2）連結(jié)PM．設(shè)AP=k，則PB=2k．先證明△MBP為等腰直角三角形，那么PM=$\sqrt{2}$BP=2$\sqrt{2}$k，再求出∠APM=∠APB-∠BPM=90°，根據(jù)勾股定理得出AP²+PM²=AM²，即k²+（2$\sqrt{2}$k）²=3²，解方程求出k=1，于是PM=2$\sqrt{2}$．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵將△PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BC與AB重合，得到△ABM，
∴△PBC≌△MBA，∠MBP=∠ABC=90°，
∴PB⊥BM； 

（2）解：如圖，連結(jié)PM．
設(shè)AP=k，則PB=2k．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BP=BM=2k，∠MBP=90°，
∴△MBP為等腰直角三角形，PM=$\sqrt{2}$BP=2$\sqrt{2}$k，
∴∠BPM=45°，
∵∠APB=135°，
∴∠APM=∠APB-∠BPM=90°，
∴AP²+PM²=AM²，即k²+（2$\sqrt{2}$k）²=3²，
解得k=1（負(fù)值舍去），
∴PM=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出對(duì)應(yīng)線段之間的等量關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵．