Question

4．如圖，長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)AB、寬CB分別為a米、b米，a、b滿足2|a-4|+|b-2|=0，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)以1米/秒的速度沿A→D→C→B→A運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)Q從B出發(fā)以2米/秒的速度沿B→C→D→A→B運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．
（1）求a、b的值；
（2）用含t的式子表示△APQ的面積（寫推理過(guò)程）；
（3）若點(diǎn)P、Q相遇后點(diǎn)P沿原路立即返回，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到距離A點(diǎn)$\frac{1}{3}$米處時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P距A點(diǎn)多遠(yuǎn)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負(fù)數(shù)，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和是0，則每個(gè)數(shù)等于0，即可求得a和b的值；
（2）根據(jù)P和Q的位置對(duì)t進(jìn)行討論，然后利用三角形的面積公式求解；
（3）求出點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到距離A點(diǎn)$\frac{1}{3}$米處時(shí)需要的時(shí)間t，求得DP的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求解．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：a-4=0且b-2=0，解得：a=4，b=2；
（2）當(dāng)0≤t≤1時(shí)，P在AD上，Q在BC上，AQ=t（米）．
則S_△APQ=$\frac{1}{2}$×t×4=2t；
當(dāng)1＜t≤2時(shí)，P在AD上，Q在CD上，CQ=2t-2，則S_△APQ=$\frac{1}{2}$×t×（2t-2）=t²-t；
當(dāng)2＜t＜$\frac{8}{3}$時(shí)，P和Q都在CD上，P在Q的左邊，DP=t-2，CQ=2t-2，則PQ=4-（t-2）-（2t-2）=8-3t，S_△APQ=$\frac{1}{2}$×2（8-3t）=8-3t；
當(dāng)$\frac{8}{3}$≤t≤3時(shí)，P和Q都在CD上，P在Q的右邊，DP=t-2，CQ=2t-2，則PQ=（t-2）+（2t-2）-4=3t-8，S_△APQ=$\frac{1}{2}$×2（3t-8）=3t-8；
當(dāng)3＜t≤4時(shí)，P在CD上，Q在AD上，AQ=8-2t，DP=6-2t，則S_△APQ=$\frac{1}{2}$×（8-2t）×（6-2t）=2t²-14t+24；
當(dāng)4＜t≤6時(shí)，Q在AB上，P在CD上，AQ=12-2t，則S_△APQ=$\frac{1}{2}$×2×（12-2t）=12-2t；
當(dāng)6≤t≤8時(shí)，Q在B點(diǎn)，BP=8-t，則S_△APQ=$\frac{1}{2}$×4×（8-t）=16-2t；
當(dāng)8≤t≤12時(shí)，Q在B點(diǎn)，P在AB上，PQ=t-8，則S_△APQ=$\frac{1}{2}$×2×（t-8）=t-8；
（3）點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到距離A點(diǎn)$\frac{1}{3}$米處時(shí)，Q在AD上，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是$\frac{8-\frac{1}{3}}{2}$=$\frac{23}{6}$（秒），
當(dāng)P運(yùn)動(dòng)$\frac{23}{6}$秒時(shí)，DP=$\frac{23}{6}$-2=$\frac{11}{6}$（米）．
則PA=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{11}{6}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{265}}{6}$（米）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，以及三角形的面積公式，根據(jù)P和Q的位置對(duì)t進(jìn)行正確討論是關(guān)鍵．