Question

1．如圖，兩條直線AB、CD相交于點(diǎn)O，且∠AOC=∠AOD，射線OM（與射線OB重合）繞O點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，速度為15°/s，射線ON（與射線OD重合）繞O點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，速度為12°/s．兩射線OM、ON同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（本題出現(xiàn)的角均指小于平角的角）
（1）圖中一定有4個(gè)直角；當(dāng)t=2時(shí)，∠MON的度數(shù)為144°，∠BON的度數(shù)為114°，∠MOC的度數(shù)為60°．
（2）當(dāng)0＜t＜12時(shí)，若∠AOM=3∠AON-60°，試求出t的值；
（3）當(dāng)0＜t＜6時(shí)，探究$\frac{7∠COM+2∠BON}{∠MON}$的值，在t滿足怎樣的條件是定值，在t滿足怎樣的條件不是定值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩條直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠AOC=∠AOD，可得圖中一定有4個(gè)直角；當(dāng)t=2時(shí)，根據(jù)射線OM，ON的位置，可得∠MON的度數(shù)，∠BON的度數(shù)以及∠MOC的度數(shù)；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)0＜t≤7.5時(shí)，當(dāng)7.5＜t＜12時(shí)，分別根據(jù)∠AOM=3∠AON-60°，列出方程式進(jìn)行求解，即可得到t的值；
（3）先判斷當(dāng)∠MON為平角時(shí)t的值，再以此分兩種情況討論：當(dāng)0＜t＜$\frac{10}{3}$時(shí)，當(dāng)$\frac{10}{3}$＜t＜6時(shí)，分別計(jì)算$\frac{7∠COM+2∠BON}{∠MON}$的值，根據(jù)結(jié)果作出判斷即可．

解答 解：（1）如圖所示，∵兩條直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠AOC=∠AOD，

∴∠AOC=∠AOD=90°，
∴∠BOC=∠BOD=90°，
∴圖中一定有4個(gè)直角；
當(dāng)t=2時(shí)，∠BOM=30°，∠NON=24°，
∴∠MON=30°+90°+24°=144°，∠BON=90°+24°=114°，∠MOC=90°-30°=60°；
故答案為：4；144°，114°，60°；

（2）當(dāng)ON與OA重合時(shí)，t=90÷12=7.5（s），
當(dāng)OM與OA重合時(shí)，t=180°÷15=12（s），
如圖所示，當(dāng)0＜t≤7.5時(shí)，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°，

由∠AOM=3∠AON-60°，可得
180°-15t°=3（90°-12t°）-60°，
解得t=$\frac{10}{7}$；
如圖所示，當(dāng)7.5＜t＜12時(shí)，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，

由∠AOM=3∠AON-60°，可得
180°-15t°=3（12t°-90°）-60°，
解得t=10；
綜上所述，當(dāng)∠AOM=3∠AON-60°時(shí)，t的值為$\frac{10}{7}$s或10s；

（3）當(dāng)∠MON=180°時(shí)，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，
∴15t°+90°+12t°=180°，
解得t=$\frac{10}{3}$，
①如圖所示，當(dāng)0＜t＜$\frac{10}{3}$時(shí)，

∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，
∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，
∴$\frac{7∠COM+2∠BON}{∠MON}$=$\frac{7（90°-15t°）+2（90°+12t°）}{15t°+90°+12t°}$=$\frac{810°-81t°}{27t+90°}$（不是定值），
②如圖所示，當(dāng)$\frac{10}{3}$＜t＜6時(shí)，

∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，
∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON）=360°-（15t°+90°+12t°）=270°-27t°，
∴$\frac{7∠COM+2∠BON}{∠MON}$=$\frac{7（90°-15t°）+2（90°+12t°）}{270°-27t°}$=$\frac{810°-81t°}{270°-27t°}$=3（定值），
綜上所述，當(dāng)0＜t＜$\frac{10}{3}$時(shí)，$\frac{7∠COM+2∠BON}{∠MON}$的值不是定值，當(dāng)$\frac{10}{3}$＜t＜6時(shí)，$\frac{7∠COM+2∠BON}{∠MON}$的值是3．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于角的計(jì)算綜合題，主要考查了角的和差關(guān)系的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將相關(guān)的角用含t的代數(shù)式表示出來(lái)，并根據(jù)題意列出方程進(jìn)行求解，以及進(jìn)行分類討論，解題時(shí)注意方程思想和分類思想的靈活運(yùn)用．