Question

19．已知拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)）且A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2，0）、（8，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，以BC為一邊，點(diǎn)O為對稱中心作菱形BDEC，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P作x軸的垂線L交拋物線于點(diǎn)Q，交BD于點(diǎn)M．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形？
（3）在（2）的結(jié)論下，試問拋物線上是否存在點(diǎn)N（不同于點(diǎn)Q），使三角形BCN的面積等于三角形BCQ的面積？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．
（2）由菱形的對稱性可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可求直線BD的解析式，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得關(guān)于m的方程，求得m的值；再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形CQMD的形狀；
（3）要使三角形BCN的面積等于三角形BCQ的面積，可判斷四邊形CQBN是平行四邊形，解得此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于A（-2，0），B（8，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=4a-2b-4}\\{0=64a+8b-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4；
（2）∵C（0，-4）
∴由菱形的對稱性可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4）．
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{2}$，b=4．
∴直線BD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4．
∵l⊥x軸，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m+4），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）．
如圖，當(dāng)MQ=DC時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，
∴（-$\frac{1}{2}$m+4）-（ $\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）=4-（-4）．
化簡得：m²-4m=0，
解得m₁=0（不合題意舍去），m₂=4．
∴當(dāng)m=4時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形；
（3）要使三角形BCN的面積等于三角形BCQ的面積，
N點(diǎn)到BC的距離與Q到BC的距離相等；所以過M或Q點(diǎn)的斜率為$\frac{1}{2}$的 直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求
M（4，2），Q（4，-6）
設(shè)直線l：y=$\frac{1}{2}$x+b
①當(dāng)直線l過Q點(diǎn)時(shí)，
可求l：y=$\frac{1}{2}$x-8
聯(lián)立拋物線方程，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=$\frac{1}{2}$x-8；解得x₁=x₂=4（與Q重合，舍去）
②當(dāng)直線過M點(diǎn)時(shí)，可求，
l：y=$\frac{1}{2}x$，
聯(lián)立拋物線方程，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=$\frac{1}{2}$x；解得x₁=4+$4\sqrt{2}$，x₂=4-$4\sqrt{2}$，代入直線方程，求得
N₁（4+4$\sqrt{2}$，2+2$\sqrt{2}$），N₂（4-4$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$），
故符合條件的N的坐標(biāo)為N₁（4+4$\sqrt{2}$，2+2$\sqrt{2}$），N₂（4-4$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合性，涉及的知識點(diǎn)有：坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，菱形的對稱性，待定系數(shù)法求直線的解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，方程思想和分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．