Question

9．重慶市銅梁區(qū)政府為做大鄉(xiāng)村旅游，打造了“五朵金花”，其中西邊A處有“萬畝生態(tài)濕地荷花園”，東邊B處有“沙心玫瑰園”，為了落實這一舉措，區(qū)政府計劃在A、B兩旅游景點之間修建一條公路AB，已知公路AB的一側有“四季花海”景點C，在公路AB上的M處測得景點C在M的北偏東53°方向上，從M向東走300米到達N處，測得景點C在N的東北方向上，且景點C周圍800米范圍內為“四季花海”．
（1）為了保護“四季花�！辈槐恍藿ü�路破壞，那么修建的公路AB是否需要改造？請說明理由．
（2）求點M到景點C的距離是多少米？（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

Answer 1

分析 （1）過C點作CD⊥AB，CD就是所求的線段，由于CD是△CDN與△CDM的公共直角邊，可用CD表示出MD，ND，然后根據MN的長，來求出CD的長，然后與800米比較即可；
（2）在直角△CDM中，根據正弦函數的定義可得MC=$\frac{CD}{sin∠CMD}$，代入數值計算即可．

解答 解：（1）修建的公路AB不需要改造．理由如下：
如圖，過C點作CD⊥AB于D，
由題可知：∠CND=45°，∠CMD=90°-53°=37°．
設CD=x千米，tan∠CMD=$\frac{CD}{MD}$，
則MD=$\frac{x}{tan37°}$．
tan∠CND=$\frac{CD}{ND}$，
則ND=$\frac{CD}{tan45°}$=x，
∵MN=300米，
∴MD-ND=MN，即tan37°x-x=300，
∴$\frac{x}{0.75}$-x=300，
解得 x=900．
∵900米＞800米，
∴修建的公路AB不需要改造；

（2）在直角△CDM中，∵∠CDM=90°，∠CMD=37°，CD=900千米，
∴MC=$\frac{CD}{sin∠CMD}$≈$\frac{900}{0.60}$=1500（米）．

點評 本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題．解直角三角形的應用關鍵是構建直角三角形，如果有共用直角邊的，可以利用公共邊來進行求解．