Question

5．如圖，直線l的解析式為y=$-\frac{4}{3}$x+b，它與坐標軸分別交于A、B兩點，其中B坐標為（0，4）．
（1）求出A點的坐標；
（2）若點 P在y軸上，且到直線l的距離為3，試求點P的坐標；
（3）在第一象限的角平分線上是否存在點Q使得∠QBA=90°？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
（4）動點C從y軸上的點（0，10）出發(fā)，以每秒1cm的速度向負半軸運動，求出點C運動所有的時間t，使得△ABC為軸對稱圖形．

Answer 1

分析 （1）利用點B代入直線，求出直線解析式，然后求直線與x軸交點坐標；
（2）已知點到直線距離，可以做點到直線的垂線，構造直角三角形，利用三角形相似就出對應線段長度，繼而求出點的坐標；
（3）點Q在第一象限角平分線上，設Q（x，x），已知給出了指定角，利用勾股定理列方程，即可求出點Q的坐標；
（4）題目求△ABC為軸對稱圖形，實質(zhì)是求動點C，使△ABC為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)分類討論即可求出點的坐標，利用點的坐標求出運動時間．

解答 解：（1）將點B（0，4）代入直線l的解析式得：
b=4，
∴直線l的解析式為：y=$-\frac{4}{3}$x+4，
令y=0得：x=3，
∴A（3，0）．

（2）如圖，過點P做直線AB的垂線，垂足為D，
∵OB=4，OA=3，
∴AB=5，
∵∠B是公共角，∠BDP=∠BOD，
∴△BOA∽△BDP，
∴$\frac{OA}{PD}$=$\frac{AB}{BP}$，
∴$\frac{3}{3}$=$\frac{5}{BP}$，
∴BP=5，
4+5=9，4-5=-1，
∴P（0，9）或（0，-1）．


（3）存在．
∵Q在第一象限的角平分線上，
設Q（x，x），
根據(jù)勾股定理：
QB²+BD²=QD²，
x²+（x-4）²+5²=x²+（x-3）²，
解得x=16，
故Q（16，16）．

（4）能使△ABC為軸對稱圖形，
則得：△ABC為等腰三角形，
當AB=BC時，
C（0，9）或（0，-1），
此時C點運動1秒或11秒，
當AB=AC時，
C（0，-4），
此時C點運動14秒，
當AC=BC時，
C（0，$\frac{7}{8}$），
此時C點運動$\frac{73}{8}$秒．
綜上所述：當C點運動1秒、$\frac{73}{8}$秒、11秒、14秒時，能使△ABC為軸對稱圖形．

點評 題目考查了一次函數(shù)的綜合應用、點的坐標、相似三角形判定及性質(zhì)、勾股定理等知識，通過直線的基本性質(zhì)及三角形的基本性質(zhì)，找出相應的等量關系即可，題目考查靈活多變，對學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題有大的鍛煉價值．