Question

16．如圖1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，P、Q分別是AB邊和CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，且保持AP=CQ．設(shè)AP=x．
（1）當(dāng)x=4時(shí)，PQ∥AD；
（2）當(dāng)線段PQ的垂直平分線與BC邊相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為E，設(shè)BP=y求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍；
（3）當(dāng)線段PQ的垂直平分線與BC邊相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為E，連接EP、EQ，設(shè)△EPQ的面積為S，S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為S=$\frac{4}{3}$（x-4）²+12（$\frac{7}{4}$≤x≤$\frac{25}{4}$）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件，證明四邊形APQD是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)和AP=CQ求x即可；
（2）連接EP、EQ，則EP=EQ，設(shè)BE=y，列出等式（8-x）²+y²=（6-y）²+x²然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來求x的取值范圍；
（3）由圖形的等量關(guān)系列出方程，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來求最值．

解答 解：（1）當(dāng)PQ∥AD時(shí)，則
∠A=∠APQ=90°，∠D=∠DQP=90°，
又∵AB∥CD，
∴四邊形APQD是矩形，
∴AP=QD，
∵AP=CQ，
AP=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×8=4，
∴x=4．
故答案為：4．
（2）如圖，連接EP、EQ，則EP=EQ，設(shè)BE=y．
∴（8-x）²+y²=（6-y）²+x²，
∴y=$\frac{4x-7}{3}$．
∵0≤y≤6，
∴0≤$\frac{4x-7}{3}$≤6，
$\frac{7}{4}$≤x≤$\frac{25}{4}$．
（3）S_△BPE=$\frac{1}{2}$•BE•BP=$\frac{1}{2}$•（8-x）•$\frac{4x-7}{3}$=$\frac{-4{x}^{2}+39x-56}{6}$，
S_△ECQ=$\frac{1}{2}$•CE•CQ=$\frac{1}{2}$•（6-$\frac{4x-7}{3}$）•x=$\frac{-4{x}^{2}+25x}{6}$，
∵AP=CQ，
∴S_BPQC=$\frac{1}{2}$S矩形ABCD=24，
∴S=S_BPQC-S_△BPE-S_△ECQ=24-$\frac{-4{x}^{2}+39x-56}{6}$-$\frac{-4{x}^{2}+25x}{6}$，
整理得：S=$\frac{4{x}^{2}-32x+100}{3}$=$\frac{4}{3}$（x-4）²+12（$\frac{7}{4}≤x≤\frac{25}{4}$），
∴當(dāng)x=4時(shí)，S有最小值12，
當(dāng)x=$\frac{7}{4}$或x=$\frac{25}{4}$時(shí)，S有最大值$\frac{75}{4}$．
∴12≤S≤$\frac{75}{4}$．
故答案為：S=$\frac{4}{3}$（x-4）²+12（$\frac{7}{4}≤x≤\frac{25}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 考查了四邊形綜合題，解答本題時(shí)，涉及到了矩形的判定、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)，這是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，所以在解答題目時(shí)，一定要把各個(gè)知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，這樣解題時(shí)才會(huì)少走彎路．