Question

7．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D點，點E、F是線段AD上的三等分點，連接BE、CE、BF、CF，若$\frac{BC}{AD}=\frac{2}{3}$，且BC=4a．
（1）求四邊形ABEC的面積；
（2）寫出與△CEF相似但不全等的三角形，并證明其中的一對．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三線合一證得BD=CD=$\frac{1}{2}BC=2a$，由點E、F是線段AD上的三等分點，得到DE=EF=AF=$\frac{1}{3}AD$，由于$\frac{BC}{AD}=\frac{2}{3}$，BC=4a，得到DE=EF=AF=2a，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出結(jié)論．
（2）根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似證得結(jié)論．

解答 解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}BC=2a$，
∵點E、F是線段AD上的三等分點，
∴DE=EF=AF=$\frac{1}{3}AD$，
∵$\frac{BC}{AD}=\frac{2}{3}$，BC=4a，
∴DE=EF=AF=2a，
∴由軸對稱性可知${S_{四邊形ABEC}}=2{S_{△ACE}}=8{a^2}$；

（2）△CAE和△BAE．
由（1）得DE=2a，
∴$CE=2\sqrt{2}a$，
∴CE²=8a²，
∵AE•EF=8a²，
∴AE•EF=CE²，即$\frac{AE}{CE}=\frac{CE}{EF}$，
∵∠AEC=∠CEF，
∴△CEF∽△AEC．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)三線合一，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定，能利用軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．