Question

14．已知：平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)分別為O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）．
（1）問：是否存在這樣的m，使得在邊BC上總存在點(diǎn)P，使∠OPA=90°？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（2）當(dāng)∠AOC與∠OAB的平分線的交點(diǎn)Q在邊BC上時(shí)，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由四邊形四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)易得OA=BC=5，BC∥OA，以O(shè)A為直徑作⊙D，與直線BC分別交于點(diǎn)E、F，根據(jù)圓周角定理得∠OEA=∠OFA=90°，如圖1，作DG⊥EF于G，連DE，則DE=OD=2.5，DG=2，根據(jù)垂徑定理得EG=GF，接著利用勾股定理可計(jì)算出EG=1.5，于是得到E（1，2），F(xiàn)（4，2），即點(diǎn)P在E點(diǎn)和F點(diǎn)時(shí)，滿足條件，此時(shí)，當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{m-5≤4}\\{m≥1}\end{array}\right.$，即1≤m≤9時(shí)，邊BC上總存在這樣的點(diǎn)P，使∠OPA=90°；
（2）如圖2，先判斷四邊形OABC是平行四邊形，再利用平行線的性質(zhì)和角平分線定義可得到∠AQO=90°，以O(shè)A為直徑作⊙D，與直線BC分別交于點(diǎn)E、F，則∠OEA=∠OFA=90°，于是得到點(diǎn)Q只能是點(diǎn)E或點(diǎn)F，當(dāng)Q在F點(diǎn)時(shí)，證明F是BC的中點(diǎn)．而F點(diǎn)為 （4，2），得到m的值為6.5；當(dāng)Q在E點(diǎn)時(shí)，同理可求得m的值為3.5．

解答 解：（1）存在．
∵O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）．
∴OA=BC=5，BC∥OA，
以O(shè)A為直徑作⊙D，與直線BC分別交于點(diǎn)E、F，則∠OEA=∠OFA=90°，如圖1，
作DG⊥EF于G，連DE，則DE=OD=2.5，DG=2，EG=GF，
∴EG=$\sqrt{D{E}^{2}-D{G}^{2}}$=1.5，
∴E（1，2），F(xiàn)（4，2），
∴當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{m-5≤4}\\{m≥1}\end{array}\right.$，即1≤m≤9時(shí)，邊BC上總存在這樣的點(diǎn)P，使∠OPA=90°；
（2）如圖2，
∵BC=OA=5，BC∥OA，
∴四邊形OABC是平行四邊形，
∴OC∥AB，
∴∠AOC+∠OAB=180°，
∵OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB，
∴∠AOQ=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠OAQ=$\frac{1}{2}$∠OAB，
∴∠AOQ+∠OAQ=90°，
∴∠AQO=90°，
以O(shè)A為直徑作⊙D，與直線BC分別交于點(diǎn)E、F，則∠OEA=∠OFA=90°，
∴點(diǎn)Q只能是點(diǎn)E或點(diǎn)F，
當(dāng)Q在F點(diǎn)時(shí)，∵OF、AF分別是∠AOC與∠OAB的平分線，BC∥OA，
∴∠CFO=∠FOA=∠FOC，∠BFA=∠FAO=∠FAB，
∴CF=OC，BF=AB，
而OC=AB，
∴CF=BF，即F是BC的中點(diǎn)．
而F點(diǎn)為（4，2），則$\frac{m+m-5}{2}$=4，解得m=6.5
∴此時(shí)m的值為6.5，
當(dāng)Q在E點(diǎn)時(shí)，同理可得$\frac{m+m-5}{2}$=1，此時(shí)m的值為3.5，
綜上所述，m的值為3.5或6.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和平行四邊形的判定與性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)利用勾股定理計(jì)算線段的長．