Question

16．如圖，正方形ABCD中，E是AB上的任意一點(diǎn)，∠ECF=45°，CF交AD于點(diǎn)F，將△CBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△CDG的位置．
（1）求證：F、D、G共線；
（2）求證：EF=GF．

Answer 1

分析 （1）先由正方形的性質(zhì)得出∠ADC=∠B=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠CDG=∠B=90°，那么∠ADG=180°，根據(jù)平角的定義即可證明F、D、G共線；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△CBE≌△CDG，則CE=CG，∠BCE=∠DCG，利用∠BCE+∠DCE=90°可得∠DCG+∠DCE=90°，所以∠ECF=∠FCG=45°，再利用“SAS”證明△CEF≌△CGF，則EF=GF．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠B=90°，
∵將△CBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△CDG的位置，
∴∠CDG=∠B=90°，
∴∠ADG=∠ADC+∠CDG=90°+90°=180°，
∴F、D、G共線；

（2）∵將△CBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△CDG的位置，
∴△CBE≌△CDG，
∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，
∵∠BCE+∠DCE=∠BCD=90°，
∴∠DCG+∠DCE=∠ECG=90°，
∵∠ECF=45°，
∴∠ECF=∠FCG=45°．
在△CEF與△CGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CG}\\{∠ECF=∠GCF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△CGF，
∴EF=GF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平角的定義．