Question

6．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，延長BC至D使得BD=2BC，設(shè)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)A、B），連結(jié)PD交直線AC于M點(diǎn)，過P、M、B三點(diǎn)做⊙O交直線AC于另一點(diǎn)N．
（1）求證：BN=PN；
（2）設(shè)⊙O的半徑為R，給出下列兩個(gè)結(jié)論：①M(fèi)N的長度不變；②$\frac{MN}{R}$的值不變，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請你判斷哪一個(gè)結(jié)論正確，證明正確的結(jié)論并求出其值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接BM．先證明∠2=∠3，再證明∠1=∠2，∠NBP=∠3即可解決問題．
（2）②的值不變．作O₁K⊥MN于K，連接O₁N、PN、BM，由垂徑定理得，MN=2NK，且∠N O₁K=∠1，由正弦的概念得，$\frac{MN}{R}$=$\frac{2NK}{R}$=2sin∠NO₁K=2sin∠1，想辦法證明∠1=∠4=∠NO₁K，由$\frac{MN}{R}$=2sin∠4=2×$\frac{BC}{AB}$，即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，連接BM．

∵BD=2BC，
∴BC=CD，
∵M(jìn)C⊥BD，
∴MB=MD，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，∠3+∠PMN=180°，∠PMN+∠NBP=180°，
∴∠3=∠NBP，
∴∠1=∠NBP，
∴NB=NP．

（2）解：②的值不變
證明：如圖2中，作O₁K⊥MN于K，連接O₁N、PN、BM，
則MN=2NK，且∠N O₁K=∠1，

∴$\frac{MN}{R}$=$\frac{2NK}{{O}_{1}K}$=2sin∠NO₁K=2sin∠1
∵CB=CD=4，CM⊥BD，
∴MB=MD，
∴∠2=∠3．
又∠2=∠4+∠5，∠3=∠1+∠6，
∵∠5=∠6，
∴∠1=∠4=∠NO₁K，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴$\frac{MN}{R}$=2sin∠4=2×$\frac{BC}{AB}$=$\frac{8}{5}$．
所以，$\frac{MN}{R}$的值不變，其值為 $\frac{8}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題利用了垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理圓周角定理，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．