Question

13．已知：矩形ABCD中，AB=1，AD=a，在BC邊上存在唯一一點Q，使AQ⊥DQ，求a．

Answer 1

分析 以AD為直徑作圓，結合在BC邊上存在唯一一點Q使AQ⊥DQ，即可得出點Q為線段BC的中點，根據(jù)勾股定理即可得出關于a的方程，解方程即可得出a的值．

解答 解：以AD為直徑作圓，如圖所示．
∵在BC邊上存在唯一一點Q，使AQ⊥DQ，
∴點Q為線段BC的中點．
在Rt△ABQ中，AB=1，BQ=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$a，
∴AQ=$\sqrt{A{B}^{2}+B{Q}^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}}$，
同理可得：DQ=AQ=$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}}$．
在Rt△ADQ中，AQ=DQ=$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}}$，
∴AD=$\sqrt{2}$AQ=$\sqrt{2}$$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}}$=a，
解得：a=2．或a=-2（舍去）．

點評 本題考查了矩形的性質以及勾股定理，解題的關鍵是找出點Q的位置．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，借助于畫圓找出點Q的位置是關鍵．