Question

18．如圖1，已知拋物線C₁：y=ax²-2的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，交x軸于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），且sin∠ABP=$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)A的直線交第一象限的拋物線于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，若△ABC的面積被y軸分為1：5兩個(gè)部分，求直線AC的解析式；
（3）如圖2，將拋物線C₁繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C₂，Q為y軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q任作直線交旋轉(zhuǎn)后的拋物線C₂于M、N兩個(gè)不同點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得∠MPN恒為直角？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)拋物線解析式易求P（0，-2），通過(guò)解直角三角形和拋物線的對(duì)稱性易求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)求拋物線解析式；
（2）如圖1，過(guò)C作CE⊥x軸于E，構(gòu)建相似三角形：△AOD∽△AEC，利用該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得AE=9，則OE=6．利用（1）中的拋物線解析式易求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法易求直線AC的解析式為：$y=\frac{2}{3}x+2$；
（3）存在．設(shè)Q（0，b），M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），直線MN的解析式為：y=kx+b（k≠0）．
如圖2，由二次函數(shù)圖象的幾何變換求得拋物線C₂的解析式為y=-$\frac{2}{9}$x²-2．拋物線C₂與直線方程聯(lián)立方程組，由根與系數(shù)的關(guān)系得到：x₁+x₂=-$\frac{9}{2}$k，x₁•x₂=$\frac{9}{2}$（b+2）
分別過(guò)M、N作y軸的垂線段ME、NF，垂足分別為E、F，構(gòu)建相似三角形△MPE∽△PNF，由該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例推知x₁x₂=$\frac{9}{2}$，則b+2=-$\frac{81}{4}$，可以求得b的值，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)（0，-$\frac{13}{2}$）．

解答 解：（1）∵sin∠ABP=$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$，P（0，-2），
∴OB=3，
∴B（3，0），A（-3，0），
∴9a-2=0，解得 a=$\frac{2}{9}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{2}{9}$x²-2；

（2）如圖1，過(guò)C作CE⊥x軸于E，
∵S_△AOD=$\frac{1}{6}$S_△ABC，AB=2OA，
∴CE=3OD．
∵△AOD∽△AEC，
∴$\frac{OD}{CE}=\frac{OA}{AE}=\frac{1}{3}$．
∵OA=3，
∴AE=9，
∴OE=6．
在y=$\frac{2}{9}$x²-2中，令x=6，則y=6，
∴C（6，6）．
∵A（-3，0），
∴直線AC的解析式為：$y=\frac{2}{3}x+2$；

（3）答：存在．設(shè)Q（0，b） M（x₁，y₁）N（x₂，y₂）  直線MN的解析式為：y=kx+b（k≠0）．
由題意可知，拋物線C₂的解析式為y=-$\frac{2}{9}$x²-2
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+b\\ y=-\frac{2}{9}{x^2}-2\end{array}\right.$得：$\frac{2}{9}$x²+kx+b+2=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{9}{2}$k，x₁•x₂=$\frac{9}{2}$（b+2）．
分別過(guò)M、N作y軸的垂線段ME、NF，垂足分別為E、F
∵∠MPN=90°，
∴易證△MPE∽△PNF，
∴$\frac{ME}{PF}=\frac{PE}{NF}$
∴（-2-y₁）（-2-y₂）=-x₁x₂．
∵-2-y₁=$\frac{2}{9}$x₁²-2-y₂=$\frac{2}{9}$x₂²
∴$\frac{4}{81}{x_1}^2{x_2}^2=-{x_1}{x_2}$．
∵b≠-2，
∴x₁x₂≠0，
∴x₁x₂=$\frac{9}{2}$（b+2）=-$\frac{81}{4}$，
∴b=-$\frac{13}{2}$，
∴Q（0，-$\frac{13}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，其中涉及到了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)圖象的幾何變換，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．此題的難點(diǎn)是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)建相似三角形，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求相關(guān)線段的長(zhǎng)度，從而求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．