Question

8．在△ABC中，已知AB=7，點C到AB的距離為4，則△ABC周長的最小值是（　�。�

• A． 5+4$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{113}$+7
• C． 2$\sqrt{5}$+$\sqrt{41}$
• D． 以上都不對

Answer 1

分析 作AB的平行線l，使直線l到AB的距離為4，作BD⊥直線l并延長使BD=8，連接AD，交直線l于C，此時BC=DC，AC+BC=AC+DC=AD，AD就是AC+BC的最小值，AC+BC取最小值時，△ABC周長的值最小，最小值為AD+AB．

解答 解：作AB的平行線l，使直線l到AB的距離為4，如圖，
作BD⊥直線l并延長使BD=8，連接AD，交直線l于C，此時BC=DC，AC+BC=AC+DC=AD，AD就是AC+BC的最小值，AC+BC取最小值時，△ABC周長的值最��；
∵AB∥直線l，BD⊥直線l，
∴AB⊥BD，
在RT△ABD中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{113}$，
∴△ABC周長的最小值=AD+AB=$\sqrt{113}$+7．
故選B．

點評 此題考查了線路最短的問題以及平行線的性質，確定動點C的位置，使AC+BC的值最小是關鍵．