Question

9．如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，AB=3，CD=2，AD=7，在AD上是否存在點P，使△ABP與△DCP相似？如果存在，求出DP的值；如果不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 設(shè)DP=x，則AP=7-x，利用平行線的性質(zhì)得∠D=∠A=90°，根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，當$\frac{CD}{AB}$=$\frac{DP}{AP}$時，△DCP∽△ABP，即$\frac{2}{3}$=$\frac{x}{7-x}$；當$\frac{CD}{AP}$=$\frac{DP}{AB}$時，△DCP∽△APB，即$\frac{CD}{AP}$=$\frac{DP}{AB}$，即$\frac{2}{7-x}$=$\frac{x}{3}$，然后分別解方程求出x即可得到DP的長．

解答 解：存在．
設(shè)DP=x，則AP=7-x，
∵AB∥DC，
∴∠D=∠A=90°，
當$\frac{CD}{AB}$=$\frac{DP}{AP}$時，△DCP∽△ABP，即$\frac{2}{3}$=$\frac{x}{7-x}$，解得x=$\frac{14}{5}$；
當$\frac{CD}{AP}$=$\frac{DP}{AB}$時，△DCP∽△APB，即$\frac{CD}{AP}$=$\frac{DP}{AB}$，即$\frac{2}{7-x}$=$\frac{x}{3}$，整理得x²-7x+6=0，解得x₁=1，x₂=6．
綜上所述，當DP為$\frac{14}{5}$或1或6時，△ABP與△DCP相似．

點評 本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．運用分類討論的思想是解決此題的關(guān)鍵．