Question

2．如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，點(diǎn)E、F分別是AB、BC邊的中點(diǎn)，連接AF、CE交于點(diǎn)M，連接BM并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)N，連接DE交AF于點(diǎn)P，則結(jié)論：①∠ABN=∠CBN；②∠APD=∠BMF；③EM=2AM；④△CDE是等腰三角形；⑤EM：BE=$\sqrt{5}$：3；⑥S_△EPM=$\frac{1}{18}$S_梯形ABCD，正確的有①②④⑤⑥（填序號(hào)）

Answer 1

分析 連接DF，AC，EF，分別證明△ABF≌△CBE、△AME≌△CMF和△BEM≌△BFM，進(jìn)而得到①結(jié)論正確；由AD=AE，梯形為直角梯形，得到∠EAD為直角，可得出△AED為等腰直角三角形，可得出∠AED為45°，由∠ABC為直角，且∠ABN=∠CBN，可得出∠ABN為45°，根據(jù)同位角相等可得出DE平行于BN，選項(xiàng)②正確；直接判斷出選項(xiàng)③錯(cuò)誤；先證明四邊形AFCD為平行四邊形，進(jìn)而判斷出△CED為等腰三角形，選項(xiàng)④正確；由EF為△ABC的中位線，利用三角形中位線定理得到EF平行于AC，由兩直線平行得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，根據(jù)兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△EFM與△ACM相似，且相似比為1：2，可得出EM：MC=1：2，設(shè)EM=x，則有MC=2x，用EM+MC表示出EC，設(shè)EB=y，根據(jù)BC=2EB，表示出BC，在直角三角形BCE中，利用勾股定理表示出EC，兩者相等得到x與y的比值，即為EM與BE的比值，即可判斷選項(xiàng)⑤正確；由E為AB的中點(diǎn)，利用等底同高得到△AME的面積與△BME的面積相等，由△BME與△BFM全等，得到面積相等，可得出三個(gè)三角形的面積相等都為△ABF面積的$\frac{1}{3}$，結(jié)合矩形的知識(shí)即可判斷出⑥結(jié)論正確．

解答 解：連接DF，AC，EF，如圖所示：
∵E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，且AB=BC，
∴AE=EB=BF=FC，
在△ABF和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABF=∠CBE}\\{BF=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠BAF=∠BCE，AF=CE，
在△AME和△CMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠BCE}\\{∠AME=∠CMF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△CMF（AAS），
∴EM=FM，
在△BEM和△BFM中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=BF}\\{BM=BM}\\{EM=FM}\end{array}\right.$，
∴△BEM≌△BFM（SSS），
∴∠ABN=∠CBN，選項(xiàng)①正確；
∵AE=AD，∠EAD=90°，
∴△AED為等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABN=∠CBN=45°，
∴∠AED=∠ABN=45°，
∴ED∥BN，
∴∠APF=∠AMN，
∴∠APD=∠BMF，選項(xiàng)②正確；
在△AEM中，EM≠2AM，選項(xiàng)③錯(cuò)誤；
∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，
∴AD=FC，又AD∥FC，
∴四邊形AFCD為平行四邊形，
∴AF=DC，又AF=CE，
∴DC=EC，
則△CED為等腰三角形，選項(xiàng)④正確；
∵EF為△ABC的中位線，
∴EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠MEF=∠MCA，∠EFM=∠MAC，
∴△EFM∽△CAM，
∴EM：MC=EF：AC=1：2，
設(shè)EM=x，則有MC=2x，EC=EM+MC=3x，
設(shè)EB=y，則有BC=2y，
在Rt△EBC中，根據(jù)勾股定理得：EC=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$y，
∴3x=$\sqrt{5}$y，即x：y=$\sqrt{5}$：3，
∴EM：BE=$\sqrt{5}$：3，選項(xiàng)⑤正確；
∵E為AB的中點(diǎn)，EP∥BM，
∴P為AM的中點(diǎn)，
∴S_△AEP=S_△EPM=$\frac{1}{2}$S_△AEM，
又S_△AEM=S_△BEM，且S_△BEM=S_△BFM，
∴S_△AEM=S_△BEM=S_△BFM=$\frac{1}{3}$S_△ABF，
∵四邊形ABFD為矩形，
∴S_△ABF=S_△ADF，又S_△ADF=S_△DFC，
∴S_△ABF=S_△ADF=S_△DFC=$\frac{1}{3}$S_梯形ABCD，
∴S_△EPM=$\frac{1}{18}$S_梯形ABCD，選項(xiàng)⑥正確．
則正確的個(gè)數(shù)有5個(gè)．
故答案為①②④⑤⑥

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直角梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的中位線定理，熟練掌握性質(zhì)與定理是解本題的關(guān)鍵．