Question

1．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長（小于AB的長）為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于$\frac{1}{2}$MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結AP并延長交BC于點D．
（1）求證：點D在AB的中垂線上；
（2）如果△ACD的面積為1，求△ADB的面積．

Answer 1

分析 （1）利用等角對等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質可以證明點D在AB的中垂線上；
（2）利用30度角所對的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計算公式來求兩個三角形的面積之比進而求出答案．

解答 （1）證明：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
根據(jù)作圖方法可知，AD是∠CAB的角平分線，
∴∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴點D在AB的中垂線上．

（2）解：∵如圖，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AD，
∴BC=CD+BD=$\frac{1}{2}$AD+AD=$\frac{3}{2}$AD，S_△DAC=$\frac{1}{2}$AC•CD=$\frac{1}{4}$AC•AD．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AC•$\frac{3}{2}$AD=$\frac{3}{4}$AC•AD，
∴S_△DAC：S_△ABC=$\frac{1}{4}$AC•AD：$\frac{3}{4}$AC•AD=1：3，
∴S_△DAC：S_△ABD=1：2，
∵△ACD的面積為1，
∴△ADB的面積為：2．

點評 本題考查了角平分線的性質、線段垂直平分線的性質以及作圖-基本作圖．解題時，需要熟悉等腰三角形的判定與性質．