Question

15．如圖，∠AOB=90°，OA=OB，C、D是$\widehat{AB}$上的兩點(diǎn)，∠AOD＞∠AOC．
（1）求證：0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；
（2）求證：1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；
（3）銳角的正弦函數(shù)值隨角度的增大而增大；
（4）銳角的余弦函數(shù)值隨角度的增大而減�。�

Answer 1

分析 （1）作CM⊥OA于M，DN⊥⊥OA于N．根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出sin∠AOC=$\frac{CM}{OC}$，sin∠AOD=$\frac{DN}{OD}$，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到0＜CM＜DN＜OB，又OC=OD=OB，利用不等式的性質(zhì)得出sin0°＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜sin90°，即0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出cos∠AOC=$\frac{OM}{OC}$，cos∠AOD=$\frac{ON}{OD}$，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到OA＞OM＞ON＞0，又OC=OD=OA，利用不等式的性質(zhì)得出cos0°＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞cos90°，即1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；
（3）根據(jù)（1）的結(jié)果即可得出結(jié)論；
（4）根據(jù)（2）的結(jié)果即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖，作CM⊥OA于M，DN⊥⊥OA于N．
則sin∠AOC=$\frac{CM}{OC}$，sin∠AOD=$\frac{DN}{OD}$，
∵∠AOD＞∠AOC，C、D是$\widehat{AB}$上的兩點(diǎn)，
∴0＜CM＜DN＜OB，
∵OC=OD=OB，
∴sin0°＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜sin90°，
∴0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；

（2）證明：如圖，∵cos∠AOC=$\frac{OM}{OC}$，cos∠AOD=$\frac{ON}{OD}$，
又∵∠AOD＞∠AOC，C、D是$\widehat{AB}$上的兩點(diǎn)，
∴OA＞OM＞ON＞0，
∵OC=OD=OA，
∴cos0°＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞cos90°，
∴1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；

（3）銳角的正弦函數(shù)值隨角度的增大而增大；

（4）銳角的余弦函數(shù)值隨角度的增大而減小．
故答案為增大；減小．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．同時考查了圓的性質(zhì)及正弦函數(shù)的定義．