Question

如圖所示，在△ABC中，∠ABC的平分線BE與BC邊的中線AD垂直且相等，已知BE=AD=4，求△ABC三邊之長．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,勾股定理

專題：

分析：設(shè)AD、BE相交于點G，取CE的中點F，連接DF，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DF∥BE，DF=

1

2

BE，然后判斷出GE是△ADF的中位線，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得GE=

1

2

DF，再求出BG，然后利用勾股定理列式計算即可求出AB，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BD=AB，再根據(jù)BC=2BD求出BC的長度，利用勾股定理列式求出AE，然后根據(jù)AE=EF=CF求出AC，從而得解．

解答：解：如圖，設(shè)AD、BE相交于點G，取CE的中點F，連接DF，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=CD，
∴DF是△BCE的中位線，
∴DF∥BE，DF=

1

2

BE=

1

2

×4=2，
∵BE是∠ABC的平分線，BE⊥AD，
∴AG=GD=

1

2

AD=

1

2

×4=2，
∴GE是△ADF的中位線，
∴GE=

1

2

DF=

1

2

×2=1，
∵BE=4，
∴BG=BE-GE=4-1=3，
在Rt△ABE中，AB=

AG2+BG2

=

22+32

=

13

，
∵BE是∠ABC的平分線，BE⊥AD，
∴BE垂直平分AD，
∴BD=AB=

13

，
∵AD是△ABC的中線，
BC=2BD=2

13

，
在Rt△AEG中，AE=

AG2+GE2

=

22+12

=

5

，
∵DF是△BCE的中位線，GE是△ADF的中位線，
∴AE=EF=CF=

5

，
∴AC=3

5

．

點評：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，勾股定理，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)，三角形的中線的定義，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記定理與各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出中位線的三角形是解題的關(guān)鍵．