Question

10．如圖，E為矩形ABCD邊CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE=CA，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，
（1）求證：BF⊥FD；
（2）若AB=8，AD=6，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由CE=CA，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，利用等腰三角形“三線合一”，得∠CFA=90°，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BF=EF=AF，然后利用等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到∠FBA=∠FAB，從而推出∠FAD=∠FBC，再根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得AD=BC，然后利用“邊角邊”即可證明△AFD≌△FBC；利用全等三角形的性質(zhì)得∠BFC=∠AFD，等量代換得出結(jié)論．
（2）求出AC和BD，得出CE長(zhǎng)，求出BE，根據(jù)勾股定理求出AE，求出BF，在△BFD中，由勾股定理求出DF即可．

解答 （1）證明：∴CE=CA，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，
∴∠CFE=∠AFC=90°，
∵矩形ABCD，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，
∴BF=EF=AF，
∴∠FBA=∠FAB，
∴∠FAD=∠FBC，
∵AD=BC，
在△AFD和△FBC中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=BF}\\{∠FAD=∠FBC}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△FBC（SAS），
∴∠BFC=∠AFD，
∴∠BFD=90°，
∴BF⊥FD；

（2））解：連接BD，
∵∠ABC=90°，AB=8，AD=6，由勾股定理得：BD=AC=10=CE，
∴BE=10-6=4，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=$\sqrt{{8}^{2}{+4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵F為AE中點(diǎn)，
∴BF=$\frac{1}{2}$AE=2$\sqrt{5}$，
在Rt△DFB中，DF=$\sqrt{{BD}^{2}{-FB}^{2}}$=$\sqrt{{10}^{2}{-（2\sqrt{5}）}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，靈活運(yùn)用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，