Question

16．如圖，拋物線y=mx²-4mx的圖象于x軸交于點(diǎn)O，A，已知直線l的解析式為y=kx（k＜0），點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，
（1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0）；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含k的代數(shù)式表示）；
（3）若點(diǎn)B在拋物線上，點(diǎn)P在此拋物線的對(duì)稱軸上，且四邊形AOBP為平行四邊形，求此拋物線的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）令y=0，解方程即可；
（2）設(shè)B（m，n），過點(diǎn)A垂直y=kx的直線的解析式為y=-$\frac{1}{k}$x+b，利用方程組求出解交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，列出方程組求出m、n即可解決問題；
（3）由題意可知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-2，列出方程即可求解；

解答 解：（1）對(duì)于拋物線令y=0，則有mx²-4mx=0，解得x=0，或4，
∴A（4，0），
故答案為（4，3）．

（2）設(shè)B（m，n），過點(diǎn)A垂直y=kx的直線的解析式為y=-$\frac{1}{k}$x+b，
把A（4，0）代入得到0=-$\frac{4}{k}$+b，
∴b=$\frac{4}{k}$，
∴y=-$\frac{1}{k}$x+$\frac{4}{k}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-\frac{1}{k}x+\frac{4}{k}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{1+{k}^{2}}}\\{y=\frac{4k}{1+{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
∵A、B關(guān)于y=kx對(duì)稱，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+4}{2}=\frac{4}{1+{k}^{2}}}\\{\frac{n+0}{2}=\frac{4k}{1+{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4-4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}\\{n=\frac{8k}{1+{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
∴B（$\frac{4-4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，$\frac{8k}{1+{k}^{2}}$）．

（3）如圖，

∵四邊形AOBP是平行四邊形時(shí)，
∴OA=PB=4，
∵拋物線的對(duì)稱軸x=2，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-2，
∴$\frac{4-4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=-2，
∴k=±$\sqrt{3}$，
∵k＜0，
∴k=-$\sqrt{3}$，
∴B（-2，-2$\sqrt{3}$），
把B（-2，-2$\sqrt{3}$）代入y=mx²-4mx得到，-2$\sqrt{3}$=4m+8m，
∴m=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用．兩直線垂直的條件，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，二次一次方程組．平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)利用方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考?jí)狠S題．