Question

7．如圖，?ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD=6，若OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個根，且OA＞OB．
（1）求AB的長；
（2）若動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿B→A方向運動，過P作x軸的垂線交x軸于點E，若S_△PBE=$\frac{1}{9}$S_△ABO，求此時點P的坐標(biāo)；
（3）在（2）中，若動點P到達(dá)點A后沿AD方向以原速度繼續(xù)向點D運動，PE與DC邊交于點F，如圖2，是否存在這樣的t值，使得S_△PBE=$\frac{1}{9}$S_△ABO？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先解一元二次方程x²-7x+12=0求得OA、OB的長，再運用勾股定理即可求得AB的長；
（2）先由（1）中OA、OB的長得出A、B兩點的坐標(biāo)，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到C、D兩點的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求出CD的所在直線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）先由PE∥OA，得出△PBE∽△ABO，列出比例式，得到BE、PE的長，再根據(jù)S_△PBE=$\frac{1}{9}$S_△ABO，列出關(guān)于t的方程，解方程即可；
（4）先由AP=t-5，得出BE=t-2，CE=t-8，PD=11-t，再根據(jù)△PDF∽△ECF，得出PF=$\frac{44-4t}{3}$，然后由S_△PBF=$\frac{1}{9}$S_△ABO列出關(guān)于t的方程，解方程即可

解答 解：（1）∵OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個根，
∴（x-3）（x-4）=0，且OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
由勾股定理，得AB=5；

（2）∵OA=4，OB=3，
∴A點坐標(biāo)為（0，4），B點的坐標(biāo)為（-3，0），
∵?ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD=6，
∴D點坐標(biāo)為（6，4），BC=AD=6，
∴OC=BC-OB=3，
∴C點坐標(biāo)為（3，0）．
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，則
6k+b=4，3k+b=0，
k=$\frac{4}{3}$，b=-4，
故直線CD的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-4；
（3）∵PE∥OA，
∴△PBE∽△ABO，
∴BE：BO=PE：AO=BP：BA，即BE：3=PE：4=t：5，
∴BE=$\frac{3}{5}$t，PE=$\frac{4}{5}$t，
∵S_△PBE=$\frac{1}{9}$S_△ABO，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$t×$\frac{4}{5}$t=$\frac{1}{9}$×$\frac{1}{2}$×3×4，
解得t=±$\frac{5}{3}$（負(fù)值舍去），
∴t=$\frac{5}{3}$，
∴BE=1，PE=$\frac{4}{3}$
∴OE=OB-BE=3-1=2，
∴此時點P的坐標(biāo)為（-2，$\frac{4}{3}$）；

（4）存在這樣的t值，能夠使得S_△PBF=$\frac{1}{9}$S_△ABO．理由如下：
如圖2．∵BA+AP=t，
∴AP=t-5，
∴BE=BO+OE=3+t-5=t-2，CE=OE-OC=t-5-3=t-8，PD=AD-AP=6-t+5=11-t．
∵PD∥CE，
∴△PDF∽△ECF，
∴PD：EC=PF：EF，
∴PD：（PD+EC）=PF：（PF+EF），
（11-t）：（11-t+t-8）=PF：4，
∴PF=$\frac{44-4t}{3}$．
∵S_△PBF=$\frac{1}{9}$S_△ABO，
∴$\frac{1}{2}$PF×BE=$\frac{1}{9}$×$\frac{1}{2}$×3×4，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{44-4t}{3}$×（t-2）=$\frac{2}{3}$，
整理，得t²-13t+23=0，
解得t=$\frac{13+\sqrt{77}}{2}$或t=$\frac{13-\sqrt{77}}{2}$（舍）
即：t=$\frac{13+\sqrt{77}}{2}$．

點評 此題是四邊形綜合題，涉及到平行四邊形的性質(zhì)，解一元二次方程，勾股定理，待定系數(shù)法求直線的解析式，三角形的面積，相似三角形的性質(zhì)與判定及動點問題、存在性問題等知識，本題中用含t的代數(shù)式正確表示出三角形的底與高是解題的關(guān)鍵．