Question

18．如圖①，在△ABC和△ADE中，AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{2}$AC，∠BAC=∠DAE，連接BD、CE．
（1）若AB=AC，
①求證：BD=CE；
②在BD、CE上截取DG=$\frac{1}{4}$BD，EH=$\frac{1}{4}$CE，連接AG、AH得到圖②，猜想AG與AH的數(shù)量關(guān)系、∠GAH與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）如圖③若AB=$\frac{3}{2}$AC，其它條件不變，猜想AG與AH的數(shù)量關(guān)系、∠GAH與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出你的猜想，不必證明．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)SAS判定△BAD≌△CAE，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，得出結(jié)論即可；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出∠ABG=∠ACH，BG=CH，進(jìn)而判定△BAG≌△CAH，即可得出結(jié)論：AG與AH的數(shù)量關(guān)系為AG=AH；∠GAH與∠BAC的數(shù)量關(guān)系為∠GAH=∠BAC．
（2）先判定△BAD∽△CAE，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BG}{CH}$=$\frac{3}{2}$，∠ABG=∠ACH，最后判定△BAG∽△CAH，即可得出結(jié)論：AG與AH的數(shù)量關(guān)系為AG=$\frac{3}{2}$AH；∠GAH與∠BAC的數(shù)量關(guān)系為∠GAH=∠BAC．

解答 解：（1）如圖①∵AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{2}$AC，AB=AC，
∴AD=AE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；

②AG與AH的數(shù)量關(guān)系為AG=AH；∠GAH與∠BAC的數(shù)量關(guān)系為∠GAH=∠BAC．
證明：如圖②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABG=∠ACH，
∵DG=$\frac{1}{4}$BD，EH=$\frac{1}{4}$CE，BD=CE，
∴BG=CH，
在△BAG和△CAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABG=∠ACH}\\{BG=CH}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△CAH（SAS），
∴AG=AH，∠BAG=∠CAH，
∴∠GAH=∠BAC；

（2）AG與AH的數(shù)量關(guān)系為AG=$\frac{3}{2}$AH；∠GAH與∠BAC的數(shù)量關(guān)系為∠GAH=∠BAC．
理由：如圖③，根據(jù)AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{2}$AC，AB=$\frac{3}{2}$AC，∠BAC=∠DAE，
可得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{3}{2}$，∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴∠ABG=∠ACH，BD=$\frac{3}{2}$CE，
∵DG=$\frac{1}{4}$BD，EH=$\frac{1}{4}$CE，
∴BG=$\frac{3}{2}$CH，
在△BAG和△CAH中，
$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BG}{CH}$=$\frac{3}{2}$，∠ABG=∠ACH，
∴△BAG∽△CAH，
∴$\frac{AG}{AH}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{3}{2}$，∠BAG=∠CAH，
∴AG=$\frac{3}{2}$AH，∠GAH=∠BAC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．