Question

15．如圖，直線y=k₁x+7（k₁＜0）與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（k₂＞0）的圖象在第一象限交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△AOB的面積為$\frac{49}{2}$，點(diǎn)C橫坐標(biāo)為1．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如果一個點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，那么我們就稱這個點(diǎn)為“整點(diǎn)”，請求出圖中陰影部分（不含邊界）所包含的所有整點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）分別令x=0、y=0，求得對應(yīng)y和x的值，從而的得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后依據(jù)三角形的面積公式可求得k₁的值，然后由直線的解析式可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)C的坐標(biāo)可求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）由函數(shù)的對稱性可求得D（6，1），從而可求得x的值范圍，然后求得當(dāng)x=2、3、4、5時，一次函數(shù)和反比例函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值，從而可得到整點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵當(dāng)x=0時，y=7，當(dāng)y=0時，x=-$\frac{7}{{k}_{1}}$，
∴A（-$\frac{7}{{k}_{1}}$，0）、B（0、7）．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{7}{{k}_{1}}$）×7=$\frac{49}{2}$，解得k₁=-1．
∴直線的解析式為y=-x+7．
∵當(dāng)x=1時，y=-1+7=6，
∴C（1，6）．
∴k₂=1×6=6．
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{6}{x}$．
（2）∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于y=x對稱，
∴D（6，1）．
當(dāng)x=2時，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)為（2，3），直線上的點(diǎn)為（2，5），此時可得整點(diǎn)為（2，4）；
當(dāng)x=3時，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)為（3，2），直線上的點(diǎn)為（3，4），此時可得整點(diǎn)為（3，3）；
當(dāng)x=4時，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)為（4，$\frac{3}{2}$），直線上的點(diǎn)為（4，3），此時可得整點(diǎn)為（4，2）；
當(dāng)x=5時，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)為（5，$\frac{6}{5}$），直線上的點(diǎn)為（5，2），此時，不存在整點(diǎn)．
綜上所述，符合條件的整點(diǎn)有（2，4）、（3，3）、（4，2）．

點(diǎn)評 本題主要考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，依據(jù)三角形的面積求得k₁的值是解題的關(guān)鍵．