Question

18．已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，等腰直角三角板AEF以A為頂點順時針旋轉(zhuǎn)，其中∠E=90°，∠EAF=45°，
（1）若AE與CD交于點M，AF與BC交于點N，如圖1，求證：MN=DM+BN；
為了證明上述結(jié)論，小明進行了如下作圖：如圖，延長CB到M′，使BM′=DM，連接AM．
請你按照小明的思路完成證明過程，并在證明過程中寫出依據(jù)．
（2）第（1）問中△ABM′可以看做是由△ADM經(jīng)過圖形的變換得到，請你描述這個圖形變換以A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ADM順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABM′．；
（3）當(dāng)∠EAF=45°，等腰直角三角板AEF以A為頂點順時針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，若AE與CD的延長線交于點M，AF與CB的延長線交于點N，如圖2，請寫出此時線段MN、DM、BN之間的關(guān)系MN=DM=BN，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）首先證明△ADM≌△ABM′，再證明△ANM′≌△ANM，推出MN=NM′=BN+BM′=BN+DM．
（2）以A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ADM順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABM′；
（3）結(jié)論：MN=DM-BN．如圖2中，以A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ADM順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABM′．由△ANM′≌△ANM，可得MN=NM′，推出MN=BM′-BN=DM-BN；

解答 （1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABC=90°，
∴∠ABM′=90°，
在△ADM和△ABM′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠D=∠ABM′=90°}\\{DM=BM′}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△ABM′，
∴∠1=∠2，AM=AM′，BM′=DM，
∵∠DAB=90°，∠3=45°，
∴∠1+∠4=45°，
∴∠2+∠4=45°，
∴∠NAM′=∠3=45°，
在△AMN和△AM′N中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AN}\\{∠NAM′=∠3}\\{AM′=AM}\end{array}\right.$，
∴△ANM′≌△ANM，
∴MN=NM′，
∴MN=BN+BM′=BN+DM．

（2）解：以A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ADM順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABM′．
故答案為：以A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ADM順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABM′．

（3）解：結(jié)論：MN=DM-BN．
理由：如圖2中，以A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ADM順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABM′．

同法可證：∴△ANM′≌△ANM，
∴MN=NM′，
∴MN=BM′-BN=DM-BN．
故答案為MN=DM-BN．

點評 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．