Question

20．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于點(diǎn)E，且cosα=$\frac{4}{5}$．下列結(jié)論：
①△ADE∽△ACD；
②當(dāng)BD=6時(shí)，△ABD與△DCE全等；
③△DCE為直角三角形時(shí)，BD為8或$\frac{25}{4}$；
其中正確的結(jié)論是①②．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)填上）

Answer 1

分析 ①根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似即可證明．
②由BD=6，則DC=10，然后根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等且?jiàn)A邊也相等的三角形全等，即可證得．
③分兩種情況討論，通過(guò)三角形相似即可求得．

解答 解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE=∠B
∴∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACD；
故①正確，

②作AG⊥BC于G，
∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=$\frac{4}{5}$，
∴BG=ABcosB，
∴BC=2BG=2ABcosB=2×10×$\frac{4}{5}$=16，
∵BD=6，
∴DC=10，
∴AB=DC，
在△ABD與△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CDE}\\{∠B=∠C}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DCE（ASA）．
故②正確，

③當(dāng)∠AED=90°時(shí)，由①可知：△ADE∽△ACD，
∴∠ADC=∠AED，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且cosα=$\frac{4}{5}$，AB=10，
BD=8．
當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，易△CDE∽△BAD，
∵∠CDE=90°，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=α且cosα=$\frac{4}{5}$．AB=10，
∴cosB=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{4}{5}$，
∴BD=$\frac{25}{2}$．
故③錯(cuò)誤．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及利用三角函數(shù)求邊長(zhǎng)等．