Question

15．如圖，某水果店購(gòu)進(jìn)一批時(shí)令水果，在20天內(nèi)銷售完畢．店主將本次銷售數(shù)據(jù)繪制成函數(shù)圖象．如圖1，日銷售量y（千克）與銷售時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系；如圖2，銷售單價(jià)p（元/千克）與銷售時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系．
（1）求y關(guān)于x和p關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若日銷售量不低于36千克的時(shí)間段為“最佳銷售期”，則此次銷售過(guò)程中“最佳銷售期”共有多少天？在此期間銷售金額最高是第幾天？

Answer 1

分析 （1）分兩種情況進(jìn)行討論：①0≤x≤15；②15＜x≤20；針對(duì)每一種情況，都可以先設(shè)出函數(shù)的解析式，再將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法求解；
（2）日銷售金額=日銷售單價(jià)×日銷售量．由于第10天和第15天在第10天和第20天之間，當(dāng)10≤x≤20時(shí)，設(shè)銷售單價(jià)p（元/千克）與銷售時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n，由點(diǎn)（10，25），（20，15）在p=mx+n的圖象上，利用待定系數(shù)法求得p與x的函數(shù)解析式，日銷售量不低于36千克，即y≥36．先解不等式2x≥36，得x≥13，再解不等式-9x+180≥36，得x≤16，則求出“最佳銷售期”共有4天；然后根據(jù)p=-x+35（10≤x≤20），利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答．

解答 解：（1）分兩種情況：
①當(dāng)0≤x≤15時(shí)，設(shè)日銷售量y與銷售時(shí)間x的函數(shù)解析式為y=k₁x，
∵直線y=k₁x過(guò)點(diǎn)（15，45），
∴15k₁=45，解得k₁=3，
∴y=3x（0≤x≤15）；
②當(dāng)15＜x≤20時(shí)，設(shè)日銷售量y與銷售時(shí)間x的函數(shù)解析式為y=k₂x+b，
∵點(diǎn)（15，45），（20，0）在y=k₂x+b的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{15{k}_{2}+b=45}\\{20{k}_{2}+b=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-9}\\{b=180}\end{array}\right.$
∴y=-9x+180（15＜x≤20）；
綜上，可知y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=$\left\{\begin{array}{l}{3x（0≤x≤15）}\\{-9x+180（15＜x≤20）}\end{array}\right.$．
（2）∵第10天和第15天在第10天和第20天之間，
∴當(dāng)10≤x≤20時(shí)，設(shè)銷售單價(jià)p（元/千克）與銷售時(shí)間x（天）之間的函數(shù)解析式為p=mx+n，
∵點(diǎn)（10，25），（20，15）在p=mx+n的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10m+n=25}\\{20m+n=15}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=35}\end{array}\right.$
∴y=-x+35（10≤x≤20），
若日銷售量不低于36千克，則y≥36．
當(dāng)0≤x≤15時(shí)，y=2x，
解不等式：2x≥36，
得，x≥13；
當(dāng)15＜x≤20時(shí)，y=-9x+180，
解不等式：-9x+180≥36，
得x≤16，
∴13≤x≤16，
∴“最佳銷售期”共有：16-13+1=4（天）；
∵p=-x+35（10≤x≤20），k=-1＜0，
∴p隨x的增大而減小，
∴當(dāng)13≤x≤16時(shí)，x取13時(shí)，p有最大值，此時(shí)p=-13+35=22（元/千克）．
答：此次銷售過(guò)程中“最佳銷售期”共有4天，在此期間銷售金額最高是第13天．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，有一定難度．解題的關(guān)鍵是理解題意，利用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式，注意數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)思想的應(yīng)用．