Question

20．我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個(gè)交點(diǎn)，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，點(diǎn)A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，AB為半圓的直徑，點(diǎn)M為圓心，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-4）．
（1）你能求出經(jīng)過點(diǎn)C的“蛋圓”切線的解析式嗎？試試看；
（2）請(qǐng)你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量x的取值范圍．
（3）你能求出經(jīng)過點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式嗎？能，請(qǐng)寫出過程，不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）易得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，用交點(diǎn)式設(shè)出二次函數(shù)解析式，把D坐標(biāo)代入即可．自變量的取值范圍是點(diǎn)A、B之間的數(shù)．
（2）先設(shè)出切線與x軸交于點(diǎn)E．利用直角三角形相應(yīng)的三角函數(shù)求得EM的長(zhǎng)，進(jìn)而求得點(diǎn)E坐標(biāo)，把C、E坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式即可求得所求的解析式．
（3）設(shè)出所求函數(shù)解析式，讓它與二次函數(shù)組成方程組，消除y，讓跟的判別式為0，即可求得一次函數(shù)的比例系數(shù)k．

解答 解：（1）如圖，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)C“蛋圓”的切線CE交x軸于點(diǎn)E，連結(jié)CM，
∴CM⊥CE，
又∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），AB為半圓的直徑，點(diǎn)M為圓心，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），
∴AO=2，BO=4，OM=1．又因?yàn)镃O⊥x軸，所以CO2=AO•OB，解得：CO=2$\sqrt{2}$，
又∵CM⊥CE，CO⊥x軸，
∴CO²=EO•OM，
解之得：EO=8，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)是（-8，0），
∴切線CE的解析式為：y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x+2$\sqrt{2}$；

（2）根據(jù)題意可得：A（-2，0），B（4，0）；則設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-4）（a≠0），
又∵點(diǎn)D（0，-4）在拋物線上，
∴a=$\frac{1}{2}$；
∴y=$\frac{1}{2}$x²-x-4自變量取值范圍：-2≤x≤4；

（3）設(shè)過點(diǎn)D（0，-4），“蛋圓”切線的解析式為：y=kx-4（k≠0），
由題意可知方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-4}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-4}\end{array}\right.$只有一組解．
即kx-4=$\frac{1}{2}$x²-x-4有兩個(gè)相等實(shí)根，
∴k=-1，
∴過點(diǎn)D“蛋圓”切線的解析式y(tǒng)=-x-4；

點(diǎn)評(píng) 本題以半圓與拋物線合成的封閉圖形“蛋圓”為背景，考查一次函數(shù)、二次函數(shù)有關(guān)性質(zhì)，解題過程中涉及解一元一次方程、一元二次方程、方程組相關(guān)知識(shí)與技能，是一道綜合性很強(qiáng)的試題．