Question

9．如圖，△ABC中，AB=41，BC=15，CA=52，AM平分∠BAC，點(diǎn)D、E分別為AM、AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BD+DE的最小值是9．

Answer 1

分析 過(guò)B點(diǎn)作BF⊥AC于點(diǎn)F，BF與AM交于D點(diǎn)，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，可知BD+DE的最小值是線段BF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理列出方程組即可求解．

解答 解：過(guò)B點(diǎn)作BF⊥AC于點(diǎn)F，BF與AM交于D點(diǎn)．
設(shè)AF=x，則CF=52-x，依題意有
$\left\{\begin{array}{l}{B{F}^{2}+{x}^{2}=4{1}^{2}}\\{B{F}^{2}+（52-x）^{2}=1{5}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=40}\\{BF=9}\end{array}\right.$，（負(fù)值舍去）．
故BD+DE的最小值是9．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，勾股定理和解方程組，理解BD+DE的最小值是AC邊的高的長(zhǎng)是解題的難點(diǎn)．