Question

12．如圖，點(diǎn)P在函數(shù)y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$（x＞0）的圖象上運(yùn)動(dòng)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A為PO的中點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑作⊙P，則當(dāng)⊙P與坐標(biāo)軸相切時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，1）或（1，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 結(jié)合點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求出OP的長(zhǎng)度，由點(diǎn)A為OP的中點(diǎn)，即可找出PA的長(zhǎng)度，再根據(jù)相切的兩種不同形式分類，結(jié)合點(diǎn)P的坐標(biāo)以及圓的半徑即可得出關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的一元高次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：∵點(diǎn)P為函數(shù)y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$（x＞0）的圖象上的點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，$\frac{\sqrt{3}}{n}$）（n＞0）．
∴OP=$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{n}）^{2}}$．
∵點(diǎn)A為PO的中點(diǎn)，
∴PA=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{n}）^{2}}$．
⊙P與坐標(biāo)軸相切分兩種情況：
①⊙P與x軸相切，此時(shí)有$\frac{1}{2}$$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{n}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{n}$，
整理得：n²=$\frac{9}{{n}^{2}}$，解得：n²=3，或n²=-3（舍去），
解n²=3，得：n₁=$\sqrt{3}$，n₂=-$\sqrt{3}$（舍去），
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，1）；
②⊙P與y軸相切，此時(shí)有$\frac{1}{2}$$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{n}）^{2}}$=n，
整理得：n²=$\frac{1}{{n}^{2}}$，解得：n²=1，或n²=-1（舍去），
解n²=1，得：n₃=1，a₄=-1（舍去），
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$）．
綜上可知：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，1）或（1，$\sqrt{3}$）．
故答案為：（$\sqrt{3}$，1）或（1，$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、兩點(diǎn)間的距離公式以及切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分圓P與x（或y）軸相切分類討論．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)切線的性質(zhì)，找出P點(diǎn)坐標(biāo)與半徑之間的關(guān)系是關(guān)鍵．