Question

20．有一面積為5$\sqrt{3}$的等腰三角形，它的一個(gè)內(nèi)角是30°，則以它的腰長(zhǎng)為邊的正方形的面積為20$\sqrt{3}$和20．

Answer 1

分析 分兩種情形討論①當(dāng)30度角是等腰三角形的頂角，②當(dāng)30度角是底角，分別作腰上的高即可．

解答 解：如圖1中，當(dāng)∠A=30°，AB=AC時(shí)，設(shè)AB=AC=a，
作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，
∴$\frac{1}{2}$•a•$\frac{1}{2}$a=5$\sqrt{3}$，
∴a²=20$\sqrt{3}$，
∴△ABC的腰長(zhǎng)為邊的正方形的面積為20$\sqrt{3}$．
如圖2中，當(dāng)∠ABC=30°，AB=AC時(shí)，作BD⊥CA交CA的延長(zhǎng)線于D，設(shè)AB=AC=a，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°，
∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，
在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，
∴BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴$\frac{1}{2}$•a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=5$\sqrt{3}$，
∴a²=20，
∴△ABC的腰長(zhǎng)為邊的正方形的面積為20．
故答案為20$\sqrt{3}$或20．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類討論，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考�？碱}型．