Question

19．已知a²+2a-1=0，b⁴-2b²-1=0，且1-ab²≠0，求代數(shù)式（$\frac{a^{2}+^{2}+1}{a}$）²⁰¹⁵的值．

Answer 1

分析 將兩等式左右兩邊相減，左邊整理后分解因式，根據(jù)1-ab²≠0的題設(shè)條件求得b²=-a，代入所求的分式化簡(jiǎn)，再將a²=-2a+1代入，整理后即可求出值．

解答 解：∵a²+2a-1=0，b⁴-2b²-1=0，
∴（a²+2a-1）-（b⁴-2b²-1）=0，
化簡(jiǎn)之后得到：（a+b²）（a-b²+2）=0，
若a-b²+2=0，即b²=a+2，則1-ab²=1-a（a+2）=1-a²-2a=0，與題設(shè)矛盾，所以a-b²+2≠0，
因此a+b²=0，即b²=-a，
又因?yàn)閍²+2a-1=0，即a²=-2a+1，
∴（$\frac{a^{2}+^{2}+1}{a}$）²⁰¹⁵=${（\frac{{-a}^{2}-a+1}{a}）}^{2015}$=${（\frac{2a-1-a+1}{a}）}^{2015}$=1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），當(dāng)方程有解，即b²-4ac≥0時(shí)，設(shè)方程兩根分別為x₁，x₂，則有x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．