Question

20．如圖：已知在△ABC中，AB=AC，D為BC邊的中點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F．
（1）BE、CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；
（2）若∠A=90°，求證：四邊形DFAE是正方形．

Answer 1

分析 （1）證明△BED≌△CFD，由全等三角形的性質(zhì)可知BE=CF；
（2）首先證明四邊形DFAE為矩形，然后由△BED≌△CFD可知DE=DF，從而可證明四邊形DFAE為正方形．

解答 （1）答：BE=CF．
證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵D是BC的中點，
∴BD=CD．
在△BED和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠CFD=90°}\\{∠B=∠C}\\{BD=CD}\end{array}\right.$
∴△BED≌△CFD．
∴BE=CF．
（2）解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°．
又∵∠A=90°，
∴四邊形DFAE為矩形．
∵△BED≌△CFD．
∴DE=DF．
∴四邊形DFAE為正方形．

點評 本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、矩形的判定和正方形的判定，掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．