Question

11．在探究“拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊），過點(diǎn)A且與x軸成45°角的直線，與拋物線交于點(diǎn)C”的圖形性質(zhì)時(shí)，小慧在得出“在第一象限存在一點(diǎn)C₁，第四象限存在一點(diǎn)C₂滿足條件”這一正確結(jié)論后，還由此得出下列結(jié)論：①C₁的橫坐標(biāo)為4，C₂的縱坐標(biāo)為-3；②sin∠AC₁C₂=$\frac{{3\sqrt{34}}}{34}$；③過點(diǎn)C₁、C₂作x軸的垂線，垂足分別為D₁、D₂，則△C₁D₁B∽△C₂D₂B，則其中正確的為（　�。�

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 利用方程組求出C₁，C₂的坐標(biāo)，即可一一判斷．

解答 解：由題意A（-1，0），B（3，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∵A（-1，0），
∴C₁（4，5），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴C₂（2，-3），故①正確，
∴AC₂=3$\sqrt{2}$，C₁C₂=2$\sqrt{17}$，
∴sin∠AC₁C₂=$\frac{A{C}_{2}}{{C}_{1}{C}_{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{17}}$=$\frac{3\sqrt{34}}{34}$，故②正確，
∵$\frac{{C}_{1}{D}_{1}}{B{D}_{1}}$≠$\frac{{C}_{2}{D}_{2}}{B{D}_{2}}$，故③錯(cuò)誤，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定、拋物線與x軸的交點(diǎn)、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用方程組求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考�？碱}型．