Question

17．已知：二次函數(shù)y=x²-10x+21頂點為A，與x軸交點為B、C，求：以點A、B、C為頂點的三角形的外接圓圓心的坐標．

Answer 1

分析 由二次函數(shù)解析式求出頂點A的坐標，求出方程x²-10x+21=0的解，得出B、C的坐標，由△ABC的外接圓的圓心D在對稱軸AE上，在Rt△BDE中，由勾股定理得出BD²=BE²+ED²，且BD=AD，求出BD，得出DE即可．

解答 解：∵二次函數(shù)y=x²-10x+21=（x-5）²-4，
∴頂點A的坐標為（5，-4），
當y=0時，
x²-10x+21=0，
解得：x₁=3，x₂=7，
∴B（3，0），C（7，0），
∴OB=4，BC=4，
作拋物線的對稱軸交x軸于E，△ABC的外接圓圓心為D，如圖所示：
則BE=2，AE=4，OE=5，∠DEB=90°，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
BD²=BE²+ED²，且BD=AD，
BD²=2²+（4-BD）²，
解得：BD=$\frac{5}{2}$，
∴DE=$\frac{3}{2}$，
∴△OAB外接圓圓心的坐標是（5，-$\frac{3}{2}$）．

點評 本題主要考查了勾股定理、一元二次方程的解法、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、三角形的外接圓與外心、等腰三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，由勾股定理得出DE是解題的關鍵．