Question

6．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AO=CO，E，F(xiàn)是AC上的兩點(diǎn)，且AE=CF，BE∥DF．
（1）求證：△BOE≌△DOF；
（2）若AO=BO，求證：四邊形ABCD是矩形．

Answer 1

分析 （1）求出OE=OF，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠DFO=∠BEO，根據(jù)ASA推出即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出OD=OB，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形ABCD是平行四邊形，求出AC=BD，根據(jù)矩形的判定得出即可．

解答 證明：（1）∵AO=CO，AE=CF，
∴AO-AE=CO-CF，
∴OE=OF，
∵BE∥DF，
∴∠DFO=∠BEO，
在△BOE和△DOF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEO=∠DFO}\\{OE=OF}\\{∠BOE=∠DOF}\end{array}\right.$
∴△BOE≌△DOF（ASA）；

（2）∵△BOE≌△DOF，
∴OD=OB，
∵OA=OC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵OD=OB，OA=OC，OA=OB，
∴AC=BD，
∴四邊形ABCD是矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．