Question

3．已知拋物線y=x²+bx+c，點(diǎn)A_n（a_n，-4）為拋物線的頂點(diǎn)，且a₁=1，a_n+1=a_n+1（n＞0）．以A₁為頂點(diǎn)的拋物線記為C₁，以A₂為頂點(diǎn)的拋物線記為C₂，…以A_n為頂點(diǎn)的拋物線記為C_n．
（1）求C₁拋物線的解析式；
（2）C₁與x軸交于點(diǎn)B、C兩點(diǎn)（B在C點(diǎn)的右側(cè)），拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△POB與△POD全等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）C₂₀₁₅與x軸交于B、C兩點(diǎn)，直線x=2014與C₂₀₁₅、直線A₂₀₁₅B、x軸分別交于D、E、F點(diǎn)，判斷以線段A₂₀₁₅B為直徑的圓與直線x=2014的位置關(guān)系？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得答案；
（2）根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，可得PB=PD，根據(jù)方程，可得答案；
（3）根據(jù)a_n+1=a_n+1，可得A₂₀₁₅坐標(biāo)，根據(jù)圖象平移規(guī)律，可得B點(diǎn)，根據(jù)線段中點(diǎn)公式，可得A₂₀₁₅B的中點(diǎn)，根據(jù)到與直線的距離，可得圓心到直線的距離，根據(jù)勾股定理，可得A₂₀₁₅B的長(zhǎng)，根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑，可得答案．

解答 解：（1）a₁=1，故C₁的頂點(diǎn)為（1，-4），
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}=1}\\{\frac{4c-^{2}}{4}=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
所以y=x²-2x-3；
（2）設(shè)P（x，（x-1）²-4），當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，即D（0，-3），
當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0，解得x=3或x=-1，即B（3，0），
OB=OD，PO=PO，當(dāng)PB=PD時(shí)，△POB≌△POD，
（x-3）²+[（x-1）²-4]²=x²+[（x-1）²-4+3]²，
化簡(jiǎn)，得x²-x-3=0，
解得x₁=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，
y₁=$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$，y₂=$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，
P₁（$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$），P₂（$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$）；
（3）A₂₀₁₅（2015，-4），B（2017，0），A₂₀₁₅B的中點(diǎn)O（2016，-2）
O到直線x=2014距離為2016-2014=2，
而圓的半徑為$\frac{{A}_{2015}B}{2}$=$\frac{\sqrt{（2017-2015）^{2}+（0+4）^{2}}}{2}$=$\sqrt{5}$
因?yàn)?＜$\sqrt{5}$，
所以x=2014與圓相交．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得出方程組是解題關(guān)鍵；（2）利用三角形全等的條件得出PB=PD是解題關(guān)鍵；（3）利用圖象平移規(guī)律得出A₂₀₁₅、B點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵，又利用了直線與圓的位置關(guān)系．