Question

8．在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，若AD：BD=1：3，求△ACD與△ABC的周長(zhǎng)之比．

Answer 1

分析 在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，于是得到∠ADC=∠ACB=∠BDC=90°，求得∠A=∠BCD，推出△ACD∽△BCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{CD}{AD}=\frac{BD}{CD}$，由已知條件設(shè)AD=k，BD=3k，得到CD=$\sqrt{3}$k，根據(jù)勾股定理求得AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2k，AB=4k，通過△ACD∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，
∴∠ADC=∠ACB=∠BDC=90°，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△BCD，
∴$\frac{CD}{AD}=\frac{BD}{CD}$，
∵AD：BD=1：3，
∴設(shè)AD=k，BD=3k，
∴CD=$\sqrt{3}$k，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2k，AB=4k，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴△ACD與△ABC的周長(zhǎng)之比=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，注意線段的比例和乘積的互化．