Question

5．如圖，已知A（-4，n），B（4-n，-4）是直線y=kx+b和雙曲線y=$\frac{m}{x}$的兩個(gè)交點(diǎn)，過點(diǎn)A，B分別作AC⊥y軸，BD⊥x軸，垂足為C，D．
（1）求兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）觀察圖象，直接寫出不等式kx+b-$\frac{m}{x}$≥0的解集；
（3）判斷CD與AB的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出m=-4n=（4-n）•（-4），解得n=2，m=-8，得出雙曲線的解析式，把A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式根據(jù)待定系數(shù)法，可求得直線解析式；
（2）不等式的解析集即為直線在雙曲線上方時(shí)對(duì)應(yīng)的x的范圍，結(jié)合圖象可求得其解集．
（3）分別求得OC=2，OD=2，△COD是等腰直角三角形，得出∠ODC=45°，由直線的斜率可知∠DEB=45°，證得∠ODC=∠DEB，即可證得CD∥AB．

解答 解：（1）∵A（-4，n），B（4-n，-4）在雙曲線y=$\frac{m}{x}$上，
∴m=-4n=（4-n）•（-4），
解得n=2，m=-8，
∴A（-4，2），B（2，-4），
代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=2}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直線解析式為y=-x-2，雙曲線的解析式為y=-$\frac{8}{x}$；
（2）∵等式kx+b-$\frac{m}{x}$≥0的解集即為直線在雙曲線上方對(duì)應(yīng)的x的取值范圍，
∴不等式的解集為x≤-4或0＜x≤2．
（3）∵A（-4，2），B（2，-4），
∴OC=2，OD=2，
∴OC=OD，
∴∠ODC=45°，
由直線y=-x-2可知∠DEB=45°，
∴∠ODC=∠DEB，
∴CD∥AB．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，掌握兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．