Question

17．如圖，對(duì)線段AB進(jìn)行如下操作：在AB上取點(diǎn)P₁，使得BP₁=$\frac{1}{2}$AB-1，再在BP₁上取點(diǎn)P₂，使得BP₂=$\frac{1}{2}$BP₁-1，…，如此繼續(xù)下去：

（1）如果P₁P₂=1，求AB的長(zhǎng)；
（2）如果AB=6，且P_n-1P_n=1，求n的值；
（3）如果P₂₀₁₄P₂₀₁₅=1，請(qǐng)直接寫出AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)BP₁=$\frac{1}{2}$AB-1和BP₂=$\frac{1}{2}$BP₁-1，得出P₁P₂=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}AB-1）-1$，得出AB即可．
（2）由（1）可得P_n-1P_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}（\frac{1}{2}AB-1）-1$，再根據(jù)AB=6，P_n-1P_n=1，解答即可．
（3）由（1）可得P_n-1P_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}（\frac{1}{2}AB-1）-1$，再根據(jù)P₂₀₁₄P₂₀₁₅=1，解答即可．

解答 解：（1）因?yàn)锽P₁=$\frac{1}{2}$AB-1，BP₂=$\frac{1}{2}$BP₁-1，
可得P₁P₂=BP₁-BP₂=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}AB-1）-1$=1，
解得：AB=10；
（2）由（1）可得P_n-1P_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}（\frac{1}{2}AB-1）-1$，
因?yàn)锳B=6，P_n-1P_n=1，
所以可得：n=1；
（3）由（1）可得P_n-1P_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}（\frac{1}{2}AB-1）-1$，
因?yàn)镻₂₀₁₄P₂₀₁₅=1，
所以可得：AB=2²⁰¹⁵+2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查兩點(diǎn)間的距離，關(guān)鍵是得出P_n-1P_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}（\frac{1}{2}AB-1）-1$的關(guān)系式．