Question

9．（1）如圖①，若點(diǎn)P在c₁上，PE⊥x軸于點(diǎn)E，交c₂于點(diǎn)A，PD⊥y軸于點(diǎn)D，交c₂于點(diǎn)B，則S_{四邊形PAOB}=k₁-k₂
（2）如圖②，若過O點(diǎn)作兩直線分別交c₁、c₂于A、B兩點(diǎn)和C、D兩點(diǎn)，則$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OD}{OB}$．AB∥CD
（3）如圖③，若一條直線與c₁、c₂分別交于A、B兩點(diǎn)和C、D兩點(diǎn)，則AC=BD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義可知S_矩形PDOE=k₁，S_△BDO=S_△OAE=$\frac{1}{2}$k₂，再根據(jù)S_{四邊形PAOB}=S_矩形PDOE-S_△BDO-S_△OAE即可證明．
（2）設(shè)直線OA的解析式為y=mx，列方程組求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，求出OA：OC，同理可得OD：OB，由此即可解決問題．
（3）如圖③中，由此AB、BA分別交x軸、y軸于Q、P．作AM⊥OQ于M，AN⊥OP于N，BE⊥OQ于E，BF⊥OP于F．AM交BF于T．由S_矩形AMON=S_矩形BEOF，推出S_矩形ATFN=S_矩形BEMT，推出AT•FT=TM•TB，推出$\frac{AT}{TB}$=$\frac{TM}{AT}$，由∠MTF=∠ATB，推出△ATB∽△MTN，推出∠ABT=∠MFT，推出FM∥PQ，推出四邊形APFM、S四邊形BQMF都是平行四邊形，推出PA=FM=BQ，由此即可解決問題．

解答 證明：（1）如圖①中，

∵P在反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{1}}{x}$上，PDOE是矩形，
∴S_矩形PDOE=k₁，
∵B、D在反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$上，BD⊥y軸，AE⊥x軸，
∴S_△BDO=S_△OAE=$\frac{1}{2}$k₂，
∴S_{四邊形PAOB}=S_矩形PDOE-S_△BDO-S_△OAE=k₁-k₂．

（2）如圖$②\\;中$，設(shè)直線OA的解析式為y=mx，

由$\left\{\begin{array}{l}{y=mx}\\{y=\frac{{k}_{1}}{x}}\end{array}\right.$，可得點(diǎn)A（$\sqrt{\frac{{k}_{1}}{m}}$，$\sqrt{m{k}_{1}}$），同理可得C（$\sqrt{\frac{{k}_{2}}{m}}$，$\sqrt{m{k}_{2}}$），
∴$\frac{OC}{AO}$=$\sqrt{\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}}$，同理可得$\frac{OD}{OB}$=$\sqrt{\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}}$，
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OD}{OA}$，
∴CD∥AB．

（3）如圖③中，由此AB、BA分別交x軸、y軸于Q、P．作AM⊥OQ于M，AN⊥OP于N，BE⊥OQ于E，BF⊥OP于F．AM交BF于T．

∵S_矩形AMON=S_矩形BEOF，
∴S_矩形ATFN=S_矩形BEMT，
∴AT•FT=TM•TB，
∴$\frac{AT}{TB}$=$\frac{TM}{AT}$，∵∠MTF=∠ATB，
∴△ATB∽△MTN，
∴∠ABT=∠MFT，
∴FM∥PQ，
∵AM∥OP，F(xiàn)B∥OQ，
∴四邊形APFM、S四邊形BQMF都是平行四邊形，
∴PA=FM=BQ，
∴PA=BQ，同理可證CP=DQ，
∴AP-CP=BQ-DQ，
即AC=BD．

點(diǎn)評 本題考查相似綜合題、反比例函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．