Question

18．Rt△ABC在直角坐標系內(nèi)的位置如圖所示，反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}（k≠0）$在第一象限內(nèi)的圖象與BC邊交于點D（4，m），與AB邊交于點E（2，n），△BDE的面積為2．
（1）求m與n的數(shù)量關(guān)系；
（2）當tan∠BAC=$\frac{1}{2}$時，求反比例函數(shù)的解析式和直線AB的解析式；
（3）設(shè)P是線段AB邊上的點，在（2）的條件下，是否存在點P，以B，C，P為頂點的三角形與△EDB相似？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將D（4，m）、E（2，n）代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$解析式，進而得出n，m的關(guān)系；
（2）利用△BDE的面積為2，得出m的值，進而得出D，E，B的坐標，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)關(guān)系式即可；
（3）利用△AEO與△EFP 相似存在兩種情況，分別利用圖形分析得出即可．

解答 解：（1）∵D（4，m）、E（2，n）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴4m=k，2n=k，
整理，得n=2m；
（2）如圖1，過點E作EH⊥BC，垂足為H．
在Rt△BEH中，tan∠BEH=tan∠A=$\frac{1}{2}$，EH=2，所以BH=1．
因此D（4，m），E（2，2m），B（4，2m+1）．
已知△BDE的面積為2，
∴$\frac{1}{2}$BD•EH=$\frac{1}{2}$（m+1）×2=2，
所以解得m=1．
因此D（4，1），E（2，2），B（4，3）．
因為點D（4，1）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
所以k=4．
因此反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{4}{x}$．
 設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，代入B（4，3）、E（2，2），
得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=3}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$
因此直線AB的函數(shù)解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+1．

（3）如圖2，作EH⊥BC于H，PF⊥BC于F，
當△BED∽△BPC時，$\frac{BE}{BP}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
$\frac{BF}{BH}$=$\frac{2}{3}$，∵BF=1，∴BH=$\frac{3}{2}$，
∴CH=$\frac{3}{2}$，
$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$x+1，x=1，
點P的坐標為（1，$\frac{3}{2}$）；

如圖3，當△BED∽△BPC時，$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BD}{BP}$，
EH=2，BH=1，由勾股定理，BE=$\sqrt{5}$，
$\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{2}{BP}$，BP=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
$\frac{BF}{BH}$=$\frac{BE}{BP}$，BF=1，BH=$\frac{6}{5}$，
∴CH=$\frac{9}{5}$，
$\frac{9}{5}$=$\frac{1}{2}x+1$，x=$\frac{8}{5}$，
點P的坐標為（$\frac{8}{5}$，$\frac{9}{5}$）

點P的坐標為（1，$\frac{3}{2}$）；（$\frac{8}{5}$，$\frac{9}{5}$）

點評 本題主要考查的是反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式和相似三角形的判定等知識，根據(jù)已知得出兩個三角形相似包括兩種情況是解題關(guān)鍵．