Question

19．如圖，直線l過x軸上一點(diǎn)A（2，0），且與拋物線y=ax²相交于B，C兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）．
（1）求直線l和拋物線的函數(shù)解析式．
（2）若拋物線上有一點(diǎn)D（在第一象限內(nèi)）使得S_△AOD=S_△OBC，求D點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△POC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求直線AB的解析式為y=-x+2；然后把B（1，1）代入y=ax²得a=1，從而得到拋物線解析式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可設(shè)D（t，t²）（t＞0），利用三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•2•t²=3，然后解出t的值即可得到D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）需要分類討論：OC=OP，OC=PC，OP=PC，利用線段的長(zhǎng)度來求點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（2，0），B（1，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以直線AB的解析式為y=-x+2；
把B（1，1）代入y=ax²得a=1，
所以拋物線解析式為y=x²；

（2）S_△COB=S_△COA-S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×2×1=3．
設(shè)D（t，t²）（t＞0），
∵S_△AOD=S_△COB，
∴$\frac{1}{2}$•2•t²=3，解得t=$\sqrt{3}$或t=-$\sqrt{3}$（舍去），
∴D（$\sqrt{3}$，3）．

（3）依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
即直線y=-x+2與拋物線y=x²的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是C（-2，4）、B（1，1）．
∴OC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
①當(dāng)OC=OP=2$\sqrt{5}$時(shí)，P₁（-2$\sqrt{5}$，0），P₂（2$\sqrt{5}$，0）；
②當(dāng)OC=PC=2$\sqrt{5}$時(shí)，P₃（-4，0）；
③當(dāng)OP=PC時(shí)，點(diǎn)P是線段OC的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)．
∵C（-2，4），
∴OC中點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-1，2），
∴直線PD的解析式為：y=x+3，
則易得P₄（-3，0）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P₁（-2$\sqrt{5}$，0），P₂（2$\sqrt{5}$，0），P₃（-4，0），P₄（-3，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．