Question

如圖，AC是⊙O的直徑，⊙O交AB于E，DE與⊙O的相切，D為BC的中點(diǎn)，
（1）求證：BC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若⊙O的半徑為6，AE=4，求線(xiàn)段BC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)切線(xiàn)的判定定理只需證明AC⊥BC即可；
（2）根據(jù)勾股定理求得CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得BC的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接OE，CE，
∵AC是直徑．
∴CE⊥AB．
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴DC=DB，
∴DE=BD=DC，
∴∠DCE=∠DEC．
又∵OE=OC，
∴∠OCE=∠OEC．
∴∠DCE+∠OCE=∠DEC+∠OEC．
即∠ACD=∠OED．
∵DE與⊙O的相切，
∴∠OED=90°．
∴∠ACD=90°，
∴AC⊥BC，
∴BC是⊙O的切線(xiàn)．

（2）解：∵⊙O的半徑為6，
∴AC=12，
∴在RT△ACE中，CE=

AC2-CE2

=

122-42

=8

2

，
∵CE⊥AB，
∴△ACE∽△ABC，
∴

BC

CE

=

AC

AE

，
∴BC=

CE•AC

AE

=

8 2 ×12

4

=24

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查切線(xiàn)的判定、圓周角定理、三角形相似的判定和性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，作出輔助線(xiàn)根據(jù)直角三角形是解題的關(guān)鍵．