Question

閱讀下面材料：
小明遇到下面一個問題：如圖1所示，AD是△ABC的角平分線，AB=m，AC=n，求

BD

DC

的值．

小明發(fā)現(xiàn)，分別過B，C作直線AD的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．通過推理計算，可以解決問題（如圖2）．請回答，

BD

DC

=

 

．
參考小明思考問題的方法，解決問題：
如圖3，四邊形ABCD中，AB=2，BC=6，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，CD⊥BD．AC與BD相交于點O．
（1）

AO

OC

=

 

．
（2）tan∠DCO=

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：小明的思路是先證明△BDF∽△CDE，得出

BD

DC

=

BF

CE

，再證明△ABF∽△ACE，得出

AB

AC

=

BF

CE

，因此得出

BD

DC

=

AB

AC

．
（1）根據(jù)小明的結(jié)論得

AO

OC

=

AB

BC

=

2

6

=

1

3

；
（2）作AE⊥BD于E，證明△AOE∽△COD，求出AE、BE、DE、OD、的長即可求出tan∠DCO的值．

解答：解：

BD

DC

=

AB

AC

=

m

n

；
（1）

AO

OC

=

AB

BC

=

2

6

=

1

3

；
（2）作AE⊥BD于E，如圖所示：
∵CD⊥BD，AE⊥BD，
∴AE∥CD，
∴△AOE∽△COD，
∴

AE

CD

=

OE

OD

=

AO

OC

=

1

3

，
∵CD=3，∴AE=1，
∵BD平分∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴BD=3

3

，
∵AB=2，
∴BE=

3

，
∴DE=2

3

，
∴OD=2

3

×

3

4

=

3 3

2

，
∴tan∠DCO=

OD

CD

=

3 3 2

3

=

3

2

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的運用；證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．